Exercício 3. Para cada declaração listados abaixo, dizer se é verdadeira ou falsa e demonstrar a conjectura emitido usando o raciocínio por contradição, contrapositiva, por exemplo, ou contra casos de disjunção.
Se a, b, c são três números reais positivos tais que a+b+c<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}, em seguida, a mais pequena das três números é estritamente inferior a 1 .

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c são reais positivos tais que
a+b+c < \frac1a + \frac1b + \frac1c
e pede para mostrar que a menor dessas três quantidades é estritamente inferior a 1.
O conteúdo principal aqui é desigualdades em reais positivos e usaremos prova por contradição.

Passo 2

Suponha, por contradição, que a menor das três seja maior ou igual a 1, isto é,
\min\{a,b,c\}\ge1.
Como cada uma de a,b,c é pelo menos 1, para todo x\in\{a,b,c\} vale x\ge1. Então
x\ge1 \quad\Longrightarrow\quad x\ge\frac1x,
pois multiplicando x\ge1 por 1/x>0 obtemos 1\le x\cdot\frac1x = 1, o que mostra \,x\ge1/x.

Passo 3

Somando a desigualdade x\ge\frac1x para x=a,b,c, vem
a + b + c \;\ge\; \frac1a + \frac1b + \frac1c,
o que contraria exatamente a hipótese
a+b+c < \frac1a + \frac1b + \frac1c.
Portanto a suposição de que \min\{a,b,c\}\ge1 é falsa.

Resposta

A afirmação é verdadeira: se a+b+c<\frac1a+\frac1b+\frac1c, então \min\{a,b,c\}<1.

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