Exercício 3. Para cada declaração listados abaixo, dizer se é verdadeira ou falsa e demonstrar a conjectura emitido usando o raciocínio por contradição, contrapositiva, por exemplo, ou contra casos de disjunção.
Se
são três números reais positivos tais que
, em seguida, a mais pequena das três números é estritamente inferior a 1 .
Se
Passo 1
O enunciado diz que
são reais positivos tais que
e pede para mostrar que a menor dessas três quantidades é estritamente inferior a 1.
O conteúdo principal aqui é desigualdades em reais positivos e usaremos prova por contradição.
O conteúdo principal aqui é desigualdades em reais positivos e usaremos prova por contradição.
Passo 2
Suponha, por contradição, que a menor das três seja maior ou igual a 1, isto é,
Como cada uma de
é pelo menos 1, para todo
vale
. Então
pois multiplicando
por
obtemos
, o que mostra
.
Passo 3
Somando a desigualdade
para
, vem
o que contraria exatamente a hipótese
Portanto a suposição de que
é falsa.
Resposta
A afirmação é verdadeira: se
, então
.