Exercício 0.4 Dê a representação binária, base 2, e na base 6 da fração \frac{15}{2^{4}}.

Passo 1

O enunciado pede para converter a fração \frac{15}{2^{4}} em duas bases: na base 2 (binária) e na base 6. Vamos primeiro simplificar a fração e depois usar dois métodos de expansão de parte fracionária: um para base 2 e outro para base 6.

Passo 2

Simplificando a fração, temos
\frac{15}{2^{4}} = \frac{15}{16} = 0{,}9375_{\text{decimal}}.
Isso mostra que o número é menor que 1, então na notação posicional vai aparecer como 0. seguido dos dígitos fracionários na base desejada.

Passo 3

Para converter \tfrac{15}{16} em base 2, note que 15 = 1+2+4+8, isto é, em binário é 1111_{2}. Logo
\frac{15}{16} = \frac{1111_{2}}{10000_{2}} = 0{,}1111_{2},
pois deslocar quatro casas binárias à direita equivale a dividir por 2^{4}.

Passo 4

Para converter \tfrac{15}{16} em base 6, usamos o método de multiplicar sucessivamente pela base e extrair a parte inteira:
  1. x_0 = \frac{15}{16}.
  2. 6x_0 = 6\cdot\frac{15}{16} = \frac{90}{16} = 5{,}625. Parte inteira: 5. Resto: 0{,}625.
  3. 6\cdot0{,}625 = 3{,}75. Parte inteira: 3. Resto: 0{,}75.
  4. 6\cdot0{,}75 = 4{,}5. Parte inteira: 4. Resto: 0{,}5.
  5. 6\cdot0{,}5 = 3{,}0. Parte inteira: 3. Resto: 0, então a expansão termina.
Os dígitos extraídos, nessa ordem, formam a parte fracionária em base 6.

Resposta

Em base 2: 0{,}1111_{2} Em base 6: 0{,}5343_{6}

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