Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 5, & \text { se } t \geq 1\end{cases}
f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq t<\pi \\\\ 2, & \text { se } \pi \leq t<3 \pi \\\\ 0, & \text { se } t \geq 3 \pi\end{cases}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Escrever cada função dada em termos da função degrau unitário (função de Heaviside), e
  • Calcular a transformada de Laplace de cada função.
Informações dadas (resumidas exatamente do enunciado):
  • Primeira função:
f(t)= \begin{cases}0, & \text{se } 0\le t<1,\\[4pt] 5, & \text{se } t\ge 1.\end{cases}
  • Segunda função:
f(t)= \begin{cases}0, & \text{se } 0\le t<\pi,\\[4pt] 2, & \text{se } \pi \le t<3\pi,\\[4pt] 0, & \text{se } t\ge 3\pi.\end{cases}
O que preciso fornecer como resposta final:
  • Para cada função: a representação em termos de degrau e a sua transformada de Laplace.]

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadinhas, devagarinho):
  • Função degrau unitário (Heaviside): a função que “liga” em t=a\) é escrita como \(u(t-a)\) e definida por \[u(t-a)=\begin{cases}0,& t<a,\\[4pt]1,& t\ge a.\end{cases}
Isso significa que multiplicar por u(t-a)\] faz a função valer zero antes de \(t=a e mantê-la a partir de t=a.
  • Transformada de Laplace (definição): para uma função g(t) com crescimento adequado, a transformada é
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa; para funções constantes em janelas a integral converge para \Re(s)>0. Na prática para integrais com constantes tomamos s>0.
  • Propriedade útil: se temos uma constante C multiplicando um degrau deslocado u(t-a), então
\mathcal{L}\{C\,u(t-a)\}=C\int_{a}^{\infty} e^{-st}\,dt = C\frac{e^{-as}}{s},
porque \int_a^\infty e^{-st}dt = e^{-as}/s (para \Re(s)>0). Vou usar essa integral diretamente também para janelas finitas.]

Passo 3

Representação em degrau da primeira função (explicação):
  • A função vale 0 até t=1 e passa a valer a constante 5 a partir de t=1. Isso é exatamente 5 multiplicado pelo degrau que liga em t=1.
  • Logo escrevemos
\text{(primeira)}\qquad f(t)=5\,u(t-1).
Cheque rápido mental: para t<1, u(t-1)=0 f(t)=0; para t\ge1, u(t-1)=1 f(t)=5. Beleza.

Passo 4

Cálculo da transformada de Laplace da primeira função (passo a passo):
  • Pela definição:
\mathcal{L}\{5\,u(t-1)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,5\,u(t-1)\,dt.
  • Como u(t-1)=0 para t<1 e 1 para t\ge1, a integral reduz-se a
\int_{1}^{\infty} 5 e^{-st}\,dt.
  • Calcule a integral (mostrar substituições básicas):
\int_{1}^{\infty} 5 e^{-st}\,dt = 5\left[ -\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=1}^{t=\infty}.
  • Avaliando o limite: quando t\to\infty temos e^{-st}\to 0 (para s>0), então
5\left(0 - \left(-\frac{1}{s}e^{-s\cdot 1}\right)\right)=5\frac{e^{-s}}{s}.
  • Portanto a transformada é
\mathcal{L}\{5\,u(t-1)\}(s)=\frac{5e^{-s}}{s},\quad \text{(válido para \(\Re(s)>0\)).}á

Passo 5

Representação em degrau da segunda função (explicação):
  • A função vale 2 entre t=\pi (inclusive) e t=3\pi (exclusive), e é 0 fora dessa janela. Uma forma padrão de escrever uma janela é subtrair dois degraus deslocados:
    • u(t-\pi) liga em t=\pi (deixa a partir daí como 1),
    • u(t-3\pi) liga em t=3\pi.
    • Então u(t-\pi)-u(t-3\pi) vale 1 para \pi\le t<3\pi e vale 0 fora.
  • Multiplicando por 2 obtemos a função desejada. Logo:
\text{(segunda)}\qquad f(t)=2\bigl(u(t-\pi)-u(t-3\pi)\bigr).
Cheque: para t<\pi ambos degraus são zero → f=0. Para \pi\le t<3\pi temos 1-0=1 f=2. Para t\ge3\pi temos 1-1=0 f=0. Perfeito.

Passo 6

Cálculo da transformada de Laplace da segunda função (integral direta e interpretação):
  • Escrevendo pela definição:
\mathcal{L}\{2(u(t-\pi)-u(t-3\pi))\}(s)=\int_{0}^{\infty} 2\bigl(u(t-\pi)-u(t-3\pi)\bigr)e^{-st}\,dt.
  • Como a combinação de degraus é 1 somente em [\pi,3\pi), a integral reduz-se a
\int_{\pi}^{3\pi} 2 e^{-st}\,dt.
  • Calcule a integral:
\int_{\pi}^{3\pi} 2 e^{-st}\,dt = 2\left[ -\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=\pi}^{t=3\pi} =2\left(-\frac{1}{s}e^{-3\pi s} + \frac{1}{s}e^{-\pi s}\right).
  • Simplificando:
\mathcal{L}\{2(u(t-\pi)-u(t-3\pi))\}(s)=\frac{2}{s}\bigl(e^{-\pi s}-e^{-3\pi s}\bigr),\quad \text{(para \(\Re(s)>0\)).}

Passo 7

Resumo final e dica rápida para prova:
  • Forma em degrau é útil porque transforma janelas e deslocamentos em combinações simples de u(t-a).
  • Para constantes em janelas, é mais rápido usar a integral direta entre os limites da janela, ou lembrar que
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s}
e combinar linearmente.

Resposta

\displaystyle f(t)=5\,u(t-1),\quad \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{5e^{-s}}{s}
\displaystyle f(t)=2\bigl(u(t-\pi)-u(t-3\pi)\bigr),\quad \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{s}\bigl(e^{-\pi s}-e^{-3\pi s}\bigr)

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