Para cada função: a representação em termos de degrau e a sua transformada de Laplace.]
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadinhas, devagarinho):
Função degrau unitário (Heaviside): a função que “liga” em t=a\) é escrita como \(u(t-a)\) e definida por
\[u(t-a)=\begin{cases}0,& t<a,\\[4pt]1,& t\ge a.\end{cases}
Isso significa que multiplicar por u(t-a)\] faz a função valer zero antes de \(t=a e mantê-la a partir de t=a.
Transformada de Laplace (definição): para uma função g(t) com crescimento adequado, a transformada é
onde s é uma variável complexa; para funções constantes em janelas a integral converge para \Re(s)>0. Na prática para integrais com constantes tomamos s>0.
Propriedade útil: se temos uma constante C multiplicando um degrau deslocado u(t-a), então
\mathcal{L}\{5\,u(t-1)\}(s)=\frac{5e^{-s}}{s},\quad \text{(válido para \(\Re(s)>0\)).}á
Passo 5
Representação em degrau da segunda função (explicação):
A função vale 2 entre t=\pi (inclusive) e t=3\pi (exclusive), e é 0 fora dessa janela. Uma forma padrão de escrever uma janela é subtrair dois degraus deslocados:
u(t-\pi) liga em t=\pi (deixa a partir daí como 1),
u(t-3\pi) liga em t=3\pi.
Então u(t-\pi)-u(t-3\pi) vale 1 para \pi\le t<3\pi e vale 0 fora.
Multiplicando por 2 obtemos a função desejada. Logo: