Exercício 1.5. Mostre que a afirmação "Se a b=0, então a=0 ou b=0 " não pode ser demonstrada apenas verificando exemplos.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que a afirmação "Se ab=0, então a=0 ou b=0" não pode ser demonstrada apenas verificando exemplos.
Informações relevantes que o enunciado dá (explicitamente ou implicitamente):
  • A afirmação é uma proposição universal do tipo "para todos a,b (em certo conjunto), se ab=0 então a=0 ou b=0".
  • O objetivo é discutir método de demonstração: verificar exemplos versus prova geral.
    A partir daqui vamos explicar por que checar exemplos não é suficiente e mostrar contraexemplos concretos e um contra-ponto (quando a afirmação é verdadeira) com a prova geral correspondente.

Passo 2

Por que verificar exemplos não prova uma proposição universal?
  • Uma proposição universal tem a forma “para todo a,b na dada estrutura, propriedade P(a,b) vale”. Para provar isso é necessário mostrar que a propriedade vale para um elemento arbitrário a e um elemento arbitrário b dessa estrutura, usando argumentos que valem para todos os casos.
  • Verificar um conjunto finito (ou mesmo infinito, mas enumerável) de exemplos apenas mostra que a propriedade vale nesses casos específicos; não cobre todos os casos possíveis. Assim, exemplos podem sugerir uma conjectura, mas não substituem uma prova.
  • Logicamente: para refutar uma proposição universal basta um único contraexemplo; para prová-la é preciso argumento geral que não dependa de casos particulares.

Passo 3

Mostrando que confiar só em exemplos é perigoso — um contraexemplo simples em \mathbb{Z}_6.
Considere o anel dos inteiros módulo 6, \mathbb{Z}_6. Nele os elementos são 0,1,2,3,4,5 com multiplicação tomada módulo 6. Calcula-se:
2\cdot 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}.
Assim \,2\cdot 3=0 em \mathbb{Z}_6, mas 2\neq0 e 3\neq0 em \mathbb{Z}_6.
Portanto a implicação "se ab=0 então a=0 ou b=0" é falsa em \mathbb{Z}_6. Isso mostra que, se alguém tivesse verificado muitos exemplos apenas em \mathbb{Z} (inteiros usuais) e achado sempre a propriedade, isso não garantiria a validade em outras estruturas; um único contraexemplo basta para derrubar a afirmação geral.

Passo 4

Outro contraexemplo ilustrativo usando matrizes (mais visual).
Considere as matrizes 2\times2
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calcula-se o produto:
AB=\begin{pmatrix} 1\cdot1+(-1)\cdot1 & 1\cdot1+(-1)\cdot1\\[4pt] 1\cdot1+(-1)\cdot1 & 1\cdot1+(-1)\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui AB=0 (a matriz nula), mas A\neq0 e B\neq0. Então a implicação também é falsa no anel das matrizes 2\times2. Isso reforça que exemplos pontuais não provam uma regra universal: a regra pode falhar em outras estruturas.]

Passo 5

Quando a implicação é verdadeira e como se prova de forma geral (contraponto útil).
Em algumas estruturas a afirmação é verdadeira — por exemplo em corpos (fields) como \mathbb{R} ou \mathbb{Q}. Mostro a prova geral nesse caso: suponha que a e b pertencem a um corpo e ab=0. Se a=0 estamos prontos. Se a\neq0, então a tem inverso multiplicativo a^{-1}. Multiplicando a igualdade ab=0 à esquerda por a^{-1} obtém-se
a^{-1}(ab)=(a^{-1}a)b=b= a^{-1}\cdot 0=0.
Logo b=0. Assim, num corpo, a propriedade vale para todos a,b — aqui sim uma prova geral (não baseada em exemplos) garante a validade.

Passo 6

Conclusão clara e didática + recado motivador.
  • Conclusão lógica: verificar exemplos isolados não constitui prova de uma afirmação universal. Exemplos servem para testar a plausibilidade e para encontrar contraexemplos, mas provar algo para “todos” requer argumento que trate elementos arbitrários ou, se a afirmação for falsa, basta um contraexemplo.
  • Mostrei contraexemplos em \mathbb{Z}_6 e em matrizes, e mostrei a prova geral no caso de corpos como \mathbb{R}.
    Você está no caminho certo ao desconfiar de provas por exemplos — na prova, pense sempre se a afirmação é universal (precisa de prova) ou existencial (um exemplo pode bastar). Força aí — isso melhora muito sua sensação de controle nas provas!

Resposta

Verificar exemplos não basta para demonstrar a afirmação; um único contraexemplo a refuta — por exemplo em \mathbb{Z}_6 tem 2\cdot3\equiv0 com 2\not\equiv0 e 3\not\equiv0 — e, por outro lado, quando o universo é um corpo (por exemplo \mathbb{R}) a afirmação é verdadeira e prova-se assim: se ab=0 e a\neq0 então a^{-1} existe e b=a^{-1}(ab)=0.

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