Exercício 1.5. Mostre que a afirmação "Se
, então
ou
" não pode ser demonstrada apenas verificando exemplos.
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que a afirmação "Se
, então
ou
" não pode ser demonstrada apenas verificando exemplos.
Informações relevantes que o enunciado dá (explicitamente ou implicitamente):
Informações relevantes que o enunciado dá (explicitamente ou implicitamente):
- A afirmação é uma proposição universal do tipo "para todos
(em certo conjunto), se então ou ". - O objetivo é discutir método de demonstração: verificar exemplos versus prova geral.
A partir daqui vamos explicar por que checar exemplos não é suficiente e mostrar contraexemplos concretos e um contra-ponto (quando a afirmação é verdadeira) com a prova geral correspondente.
Passo 2
Por que verificar exemplos não prova uma proposição universal?
- Uma proposição universal tem a forma “para todo
na dada estrutura, propriedade vale”. Para provar isso é necessário mostrar que a propriedade vale para um elemento arbitrário e um elemento arbitrário dessa estrutura, usando argumentos que valem para todos os casos. - Verificar um conjunto finito (ou mesmo infinito, mas enumerável) de exemplos apenas mostra que a propriedade vale nesses casos específicos; não cobre todos os casos possíveis. Assim, exemplos podem sugerir uma conjectura, mas não substituem uma prova.
- Logicamente: para refutar uma proposição universal basta um único contraexemplo; para prová-la é preciso argumento geral que não dependa de casos particulares.
Passo 3
Mostrando que confiar só em exemplos é perigoso — um contraexemplo simples em
.
Considere o anel dos inteiros módulo ,
. Nele os elementos são
com multiplicação tomada módulo
. Calcula-se:
Considere o anel dos inteiros módulo
Assim
em
, mas
e
em
.
Portanto a implicação "se então
ou
" é falsa em
. Isso mostra que, se alguém tivesse verificado muitos exemplos apenas em
(inteiros usuais) e achado sempre a propriedade, isso não garantiria a validade em outras estruturas; um único contraexemplo basta para derrubar a afirmação geral.
Portanto a implicação "se
Passo 4
Outro contraexemplo ilustrativo usando matrizes (mais visual).
Considere as matrizes
Considere as matrizes
Calcula-se o produto:
Aqui
(a matriz nula), mas
e
. Então a implicação também é falsa no anel das matrizes
. Isso reforça que exemplos pontuais não provam uma regra universal: a regra pode falhar em outras estruturas.]
Passo 5
Quando a implicação é verdadeira e como se prova de forma geral (contraponto útil).
Em algumas estruturas a afirmação é verdadeira — por exemplo em corpos (fields) como ou
. Mostro a prova geral nesse caso: suponha que
e
pertencem a um corpo e
. Se
estamos prontos. Se
, então
tem inverso multiplicativo
. Multiplicando a igualdade
à esquerda por
obtém-se
Em algumas estruturas a afirmação é verdadeira — por exemplo em corpos (fields) como
Logo
. Assim, num corpo, a propriedade vale para todos
— aqui sim uma prova geral (não baseada em exemplos) garante a validade.
Passo 6
Conclusão clara e didática + recado motivador.
- Conclusão lógica: verificar exemplos isolados não constitui prova de uma afirmação universal. Exemplos servem para testar a plausibilidade e para encontrar contraexemplos, mas provar algo para “todos” requer argumento que trate elementos arbitrários ou, se a afirmação for falsa, basta um contraexemplo.
- Mostrei contraexemplos em
e em matrizes, e mostrei a prova geral no caso de corpos como .
Você está no caminho certo ao desconfiar de provas por exemplos — na prova, pense sempre se a afirmação é universal (precisa de prova) ou existencial (um exemplo pode bastar). Força aí — isso melhora muito sua sensação de controle nas provas!
Resposta
Verificar exemplos não basta para demonstrar a afirmação; um único contraexemplo a refuta — por exemplo em
tem
com
e
— e, por outro lado, quando o universo é um corpo (por exemplo
) a afirmação é verdadeira e prova-se assim: se
e
então
existe e
.