Utilize as Leis de De Morgan para negar as seguintes frases:
“Eu estudo e trabalho.”

Passo 1

O enunciado pede para negar a frase “Eu estudo e trabalho.”
Informações dadas:
  • A frase a negar é exatamente: “Eu estudo e trabalho.”

Passo 2

Primeiro vamos traduzir a frase para proposições simples para ficar mais claro e simbólico:
  • Seja P a proposição “Eu estudo”.
  • Seja Q a proposição “Eu trabalho”.
A frase original “Eu estudo e trabalho.” corresponde então à fórmula lógica
P \land Q.

Passo 3

Agora precisamos aplicar a negação dessa fórmula. Lembrete das Leis de De Morgan (forma simbólica):
\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q
\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q
O que isso diz, em palavras simples: a negação de “A e B” é “não A ou não B”; e a negação de “A ou B” é “não A e não B”. Vou mostrar por que a primeira igualdade é verdadeira com uma tabela-verdade (para intuição):
\begin{array}{c c | c | c | c} P & Q & P\land Q & \neg(P\land Q) & \neg P \lor \neg Q \\\ \hline \mathrm{V} & \mathrm{V} & \mathrm{V} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\\ \mathrm{V} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{V} & \mathrm{V} \\\ \mathrm{F} & \mathrm{V} & \mathrm{F} & \mathrm{V} & \mathrm{V} \\\ \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{V} & \mathrm{V} \end{array}
A tabela mostra que as colunas de \neg(P\land Q) e de \neg P \lor \neg Q têm os mesmos valores para todas as combinações de P e Q, então as duas fórmulas são logicamente equivalentes.

Passo 4

Aplicando a Lei de De Morgan à nossa fórmula \,P\land Q\::
\neg(P\land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q.
Interpretando isso em linguagem natural, lembrando que:
  • \neg P = “Eu não estudo”.
  • \neg Q = “Eu não trabalho”.
Então a negação de “Eu estudo e trabalho” fica “Eu não estudo ou eu não trabalho.”

Passo 5

Um comentário prático sobre o “ou”: na lógica clássica o \lor é o “ou” inclusivo, isto é, “A ou B” significa “A ou B (ou ambos)”. Assim a negação aceita a possibilidade de que eu não estude e não trabalhe ao mesmo tempo; a frase equivalente e mais explícita seria: “Eu não estudo ou eu não trabalho (ou ambos).”

Resposta

\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q
Eu não estudo ou eu não trabalho.

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