Exercício 1.4. Verifique as propriedades associativas (P \vee Q) \vee R=P \vee (Q \vee R) e (P \wedge Q) \wedge R=P \wedge(Q \wedge R).

Passo 1

O enunciado pede para verificar as duas propriedades associativas:
(P\vee Q)\vee R = P\vee (Q\vee R)
(P\wedge Q)\wedge R = P\wedge (Q\wedge R)
As informações dadas são apenas que P, Q e R são proposições (cada uma pode ser verdadeira ou falsa). O que se pede é mostrar que, para quaisquer valores de verdade de P,Q,R, os lados esquerdo e direito de cada igualdade têm o mesmo valor de verdade. Não há mais dados numéricos nem figuras.

Passo 2

Como vamos verificar igualdade de fórmulas proposicionais, a maneira mais direta e elementar é usar tabela-verdade: construir as colunas com todas as combinações possíveis de valores de P,Q,R (são 2^3=8 combinações) e calcular os valores de cada expressão. Se para todas as 8 linhas as colunas correspondentes às duas expressões forem iguais, então as expressões são logicamente equivalentes (ou seja, a igualdade é válida). Lembrete rápido:
  • Uma proposição pode valer \text{V} (verdadeira) ou \text{F} (falsa).
  • A operação \vee (ou lógico) dá \text{V} se pelo menos um dos operandos for \text{V}; dá \text{F} somente se ambos forem \text{F}.
  • A operação \wedge (e lógico) dá \text{V} somente se ambos os operandos forem \text{V}; dá \text{F} se pelo menos um for \text{F}.

Passo 3

Agora montamos a tabela-verdade para a associação do \vee. Vou incluir as colunas intermediárias necessárias: P\vee Q, (P\vee Q)\vee R, Q\vee R e P\vee (Q\vee R). A tabela (com todas as 8 combinações) é:
\begin{array}{c c c \;|\; c \;|\; c \;|\; c \;|\; c} P & Q & R & P\vee Q & (P\vee Q)\vee R & Q\vee R & P\vee (Q\vee R)\\\ \hline \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \end{array}
Observe que, linha a linha, as colunas (P\vee Q)\vee R e P\vee (Q\vee R) têm exatamente os mesmos valores (sempre iguais entre si).

Passo 4

Pelo resultado da tabela do Passo 3 concluímos que para todas as avaliações de verdade de P,Q,R vale
(P\vee Q)\vee R \text{ tem o mesmo valor que } P\vee (Q\vee R),
ou seja, as duas fórmulas são logicamente equivalentes. Portanto a propriedade associativa de \vee está verificada.

Passo 5

Agora fazemos a mesma coisa para \wedge. Montamos a tabela com as colunas P\wedge Q, (P\wedge Q)\wedge R, Q\wedge R e P\wedge (Q\wedge R):
\begin{array}{c c c \;|\; c \;|\; c \;|\; c \;|\; c} P & Q & R & P\wedge Q & (P\wedge Q)\wedge R & Q\wedge R & P\wedge (Q\wedge R)\\\ \hline \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{F}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \end{array}
Aqui também, linha a linha, as colunas (P\wedge Q)\wedge R e P\wedge (Q\wedge R) coincidem.

Passo 6

Da tabela do Passo 5 segue que, para todas as avaliações de verdade de P,Q,R,
(P\wedge Q)\wedge R \text{ tem o mesmo valor que } P\wedge (Q\wedge R),
portanto a propriedade associativa de \wedge está verificada.

Passo 7

Intuição final (para a prova): associatividade significa que a forma de agrupar (primeiro P\vee Q ou primeiro Q\vee R, por exemplo) não altera o resultado final quando se aplica \vee ou \wedge. A tabela-verdade mostrou isso explicitamente para todas as entradas possíveis, o que é uma prova completa e elementar. Se quiser uma prova algébrica, em lógica proposicional costuma-se usar as definições formais de \vee e \wedge em termos das funções-verdade e verificar igualdade ponto a ponto — essencialmente o que a tabela faz.

Resposta

(P\vee Q)\vee R = P\vee (Q\vee R)
(P\wedge Q)\wedge R = P\wedge (Q\wedge R)

Exercícios relacionados