Exercício 1.4. Verifique as propriedades associativas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar as duas propriedades associativas:
As informações dadas são apenas que
,
e
são proposições (cada uma pode ser verdadeira ou falsa). O que se pede é mostrar que, para quaisquer valores de verdade de
, os lados esquerdo e direito de cada igualdade têm o mesmo valor de verdade. Não há mais dados numéricos nem figuras.
Passo 2
Como vamos verificar igualdade de fórmulas proposicionais, a maneira mais direta e elementar é usar tabela-verdade: construir as colunas com todas as combinações possíveis de valores de
(são
combinações) e calcular os valores de cada expressão. Se para todas as 8 linhas as colunas correspondentes às duas expressões forem iguais, então as expressões são logicamente equivalentes (ou seja, a igualdade é válida). Lembrete rápido:
- Uma proposição pode valer
(verdadeira) ou (falsa). - A operação
(ou lógico) dá se pelo menos um dos operandos for ; dá somente se ambos forem . - A operação
(e lógico) dá somente se ambos os operandos forem ; dá se pelo menos um for .
Passo 3
Agora montamos a tabela-verdade para a associação do
. Vou incluir as colunas intermediárias necessárias:
,
,
e
. A tabela (com todas as 8 combinações) é:
Observe que, linha a linha, as colunas
e
têm exatamente os mesmos valores (sempre iguais entre si).
Passo 4
Pelo resultado da tabela do Passo 3 concluímos que para todas as avaliações de verdade de
vale
ou seja, as duas fórmulas são logicamente equivalentes. Portanto a propriedade associativa de
está verificada.
Passo 5
Agora fazemos a mesma coisa para
. Montamos a tabela com as colunas
,
,
e
:
Aqui também, linha a linha, as colunas
e
coincidem.
Passo 6
Da tabela do Passo 5 segue que, para todas as avaliações de verdade de
,
portanto a propriedade associativa de
está verificada.
Passo 7
Intuição final (para a prova): associatividade significa que a forma de agrupar (primeiro
ou primeiro
, por exemplo) não altera o resultado final quando se aplica
ou
. A tabela-verdade mostrou isso explicitamente para todas as entradas possíveis, o que é uma prova completa e elementar. Se quiser uma prova algébrica, em lógica proposicional costuma-se usar as definições formais de
e
em termos das funções-verdade e verificar igualdade ponto a ponto — essencialmente o que a tabela faz.