Exercício 5.5 Mostre que, se
e
são constantes reais, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
onde
e
são constantes reais. As informações relevantes que temos são:
-
(constantes dadas). -
e são funções no domínio de que possuem transformadas inversas bem definidas (isto é, existem funções e tais que e ). - A pergunta é: provar que a operação de inversão da transformada de Laplace é linear, isto é, que a inversa de uma combinação linear de
e é a combinação linear das inversas.
Passo 2
Definição e condições básicas. Vou escrever o que é a transformada de Laplace e o que significa inversa, para termos as ferramentas do argumento bem claras.
A transformada de Laplace de uma função
(definida para
) é
onde
é uma variável complexa e a integral converge para valores de
numa certa região. Aqui:
-
é a variável do tempo (domínio da função original); -
é a variável complexa do domínio transformado; -
é a função original cuja transformada estamos calculando.
A transformada inversa
é a função
tal que
. Vamos supor as hipóteses usuais que garantem existência e unicidade da inversa (por exemplo,
e
são funções de ordem exponencial e localmente integráveis), para que possamos falar de
sem problemas. Em palavras: sempre que
e
vierem de funções que têm transformada de Laplace, suas inversas existem e são únicas.
Passo 3
Provar que a transformada de Laplace é linear (esta é a propriedade-chave que vamos usar). Seja
e
funções que satisfazem as hipóteses de existência da transformada e seja
. Então consideramos a combinação
. Pela definição da transformada e pela linearidade da integral, temos:
Pela propriedade de linearidade da integral (pode-se retirar constantes e separar soma), isso se torna
Mas as integrais são precisamente
e
. Portanto
Isto mostra que a transformada de Laplace é linear.
Passo 4
Colocar em notação do enunciado. Como
e
têm inversas, escrevemos
onde
e
. Aplicando a propriedade de linearidade do passo anterior obtemos
Passo 5
Usar unicidade da inversa. Pela definição da transformada inversa (e pela hipótese de existencia/unicidade), se duas funções têm a mesma transformada de Laplace então elas são iguais (quase sempre em sentido a.e. e sob as hipóteses usuais). Aqui observamos que
é a transformada de
. Logo a função cuja transformada é
é precisamente
. Em notação de inversa:
Passo 6
Reescrever a conclusão usando os símbolos de inversa originais
e
. Como
e
, obtemos
Passo 7
Pequeno exemplo para fixar a ideia (prático e rápido). Tome
,
,
e
. Sabe-se que
Então
Invertendo obtemos
que ilustra a propriedade demonstrada.