Exercício 5.5 Mostre que, se \alpha e \beta são constantes reais, então
\mathscr{L}^{-1}\{\alpha F(s)+\beta G(s)\}=\alpha \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}+\beta \mathscr{L}^{-1}\{G(s)\} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\mathscr{L}^{-1}\{\alpha F(s)+\beta G(s)\}=\alpha \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}+\beta \mathscr{L}^{-1}\{G(s)\},
onde \alpha e \beta são constantes reais. As informações relevantes que temos são:
  • \alpha,\beta\in\mathbb{R} (constantes dadas).
  • F(s) e G(s) são funções no domínio de s que possuem transformadas inversas bem definidas (isto é, existem funções f(t) e g(t) tais que \mathscr{L}\{f\}(s)=F(s) e \mathscr{L}\{g\}(s)=G(s)).
  • A pergunta é: provar que a operação de inversão da transformada de Laplace é linear, isto é, que a inversa de uma combinação linear de F e G é a combinação linear das inversas.

Passo 2

Definição e condições básicas. Vou escrever o que é a transformada de Laplace e o que significa inversa, para termos as ferramentas do argumento bem claras.
A transformada de Laplace de uma função f(t) (definida para t\ge 0) é
\mathscr{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s numa certa região. Aqui:
  • t é a variável do tempo (domínio da função original);
  • s é a variável complexa do domínio transformado;
  • f(t) é a função original cuja transformada estamos calculando.
A transformada inversa \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} é a função f(t) tal que \mathscr{L}\{f\}(s)=F(s). Vamos supor as hipóteses usuais que garantem existência e unicidade da inversa (por exemplo, f e g são funções de ordem exponencial e localmente integráveis), para que possamos falar de \mathscr{L}^{-1} sem problemas. Em palavras: sempre que F e G vierem de funções que têm transformada de Laplace, suas inversas existem e são únicas.

Passo 3

Provar que a transformada de Laplace é linear (esta é a propriedade-chave que vamos usar). Seja f(t) e g(t) funções que satisfazem as hipóteses de existência da transformada e seja \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Então consideramos a combinação h(t)=\alpha f(t)+\beta g(t). Pela definição da transformada e pela linearidade da integral, temos:
\mathscr{L}\{h\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}h(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\big(\alpha f(t)+\beta g(t)\big)\,dt.
Pela propriedade de linearidade da integral (pode-se retirar constantes e separar soma), isso se torna
\mathscr{L}\{h\}(s)=\alpha\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt+\beta\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt.
Mas as integrais são precisamente \mathscr{L}\{f\}(s) e \mathscr{L}\{g\}(s). Portanto
\mathscr{L}\{\alpha f+\beta g\}(s)=\alpha\mathscr{L}\{f\}(s)+\beta\mathscr{L}\{g\}(s).
Isto mostra que a transformada de Laplace é linear.

Passo 4

Colocar em notação do enunciado. Como F(s) e G(s) têm inversas, escrevemos
F(s)=\mathscr{L}\{f\}(s),\qquad G(s)=\mathscr{L}\{g\}(s),
onde f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} e g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{G(s)\}. Aplicando a propriedade de linearidade do passo anterior obtemos
\alpha F(s)+\beta G(s)=\alpha\mathscr{L}\{f\}(s)+\beta\mathscr{L}\{g\}(s)=\mathscr{L}\{\alpha f+\beta g\}(s).

Passo 5

Usar unicidade da inversa. Pela definição da transformada inversa (e pela hipótese de existencia/unicidade), se duas funções têm a mesma transformada de Laplace então elas são iguais (quase sempre em sentido a.e. e sob as hipóteses usuais). Aqui observamos que \alpha F+\beta G é a transformada de \alpha f+\beta g. Logo a função cuja transformada é \alpha F+\beta G é precisamente \alpha f+\beta g. Em notação de inversa:
\mathscr{L}^{-1}\{\alpha F(s)+\beta G(s)\}=\alpha f(t)+\beta g(t).

Passo 6

Reescrever a conclusão usando os símbolos de inversa originais \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} e \mathscr{L}^{-1}\{G(s)\}. Como f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} e g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{G(s)\}, obtemos
\mathscr{L}^{-1}\{\alpha F(s)+\beta G(s)\}=\alpha \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}+\beta \mathscr{L}^{-1}\{G(s)\}.

Passo 7

Pequeno exemplo para fixar a ideia (prático e rápido). Tome \alpha=2, \beta=3, f(t)=1 e g(t)=t. Sabe-se que
\mathscr{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathscr{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Então
2\cdot\frac{1}{s}+3\cdot\frac{1}{s^{2}}=\mathscr{L}\{2\cdot 1+3\cdot t\}(s).
Invertendo obtemos
\mathscr{L}^{-1}\left\{2\cdot\frac{1}{s}+3\cdot\frac{1}{s^{2}}\right\}=2\cdot 1+3\cdot t,
que ilustra a propriedade demonstrada.

Resposta

\mathscr{L}^{-1}\{\alpha F(s)+\beta G(s)\}=\alpha \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}+\beta \mathscr{L}^{-1}\{G(s)\}.

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