Exercício 5.6 Nos problemas a seguir, calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função racional dada. Dados fornecidos:
- A função no domínio de Laplace é
.
O que é pedido:
- Calcular
, ou seja, encontrar a função de tempo (para ) cuja transformada de Laplace é essa expressão.
Passo 2
Breve aula sobre o que vamos usar (sem pular etapas):
- A transformada de Laplace direta de uma função
é
onde
é a variável complexa da transformada.
- A transformada inversa,
, recupera a partir da expressão em . - Propriedade de linearidade: se
e , então para constantes ,
e também vale o inverso linearmente.
- Fórmulas padrão úteis (muito usadas em provas):
portanto
Aqui
é uma constante real (ou complexa) e
.
- Estratégia geral para funções racionais: decompor a fração em parcelas simples (fazer frações parciais) cujas inversas conhecemos; usar linearidade para somar as inversas.
Passo 3
Fatorar o denominador para simplificar a decomposição em frações parciais.
Calcular as raízes de :
Calcular as raízes de
Assim as raízes são
e
. Logo
Passo 4
Fazer a decomposição em frações parciais. Escrevemos
onde
Agora expandir e igualar coeficientes:
Comparando os coeficientes do polinômio em
:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolver o sistema:
Somando as duas equações:
.
Portanto a decomposição é
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando a fórmula padrão
e a linearidade.
- Para o primeiro termo, com
:
- Para o segundo termo, com
:
Multiplicando pelas constantes obtidas em frações parciais e somando:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): calcular a transformada direta do resultado para checar.
Colocando sobre o mesmo denominador
:
No numerador:
Logo a transformada é
, confirmação ok.