Exercício 5.6 Nos problemas a seguir, calcule:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+2 s-3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função racional dada. Dados fornecidos:
  • A função no domínio de Laplace é \displaystyle \frac{s}{s^{2}+2s-3}.
O que é pedido:
  • Calcular \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+2s-3}\right\}, ou seja, encontrar a função de tempo f(t) (para t\ge0) cuja transformada de Laplace é essa expressão.

Passo 2

Breve aula sobre o que vamos usar (sem pular etapas):
  • A transformada de Laplace direta de uma função f(t) é
\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
  • A transformada inversa, \mathscr{L}^{-1}, recupera f(t) a partir da expressão em s.
  • Propriedade de linearidade: se \mathscr{L}\{f\}=F e \mathscr{L}\{g\}=G, então para constantes a,b,
\mathscr{L}\{a f + b g\}=aF + bG,
e também vale o inverso linearmente.
  • Fórmulas padrão úteis (muito usadas em provas):
\mathscr{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\qquad(\text{para } \Re(s)>a),
portanto
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Aqui a é uma constante real (ou complexa) e t\ge0.
  • Estratégia geral para funções racionais: decompor a fração em parcelas simples (fazer frações parciais) cujas inversas conhecemos; usar linearidade para somar as inversas.

Passo 3

Fatorar o denominador para simplificar a decomposição em frações parciais.
Calcular as raízes de s^{2}+2s-3:
s^{2}+2s-3=0\quad\Rightarrow\quad s=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}.
Assim as raízes são s=1 e s=-3. Logo
s^{2}+2s-3=(s-1)(s+3).

Passo 4

Fazer a decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{s}{(s-1)(s+3)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+3},
onde A\) e \(B\) são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por \((s-1)(s+3)\) obtemos \[s = A(s+3)+B(s-1).
Agora expandir e igualar coeficientes:
s = (A+B)s + (3A - B).
Comparando os coeficientes do polinômio em s:
  • Coeficiente de s: A+B = 1.
  • Termo constante: 3A - B = 0.
Resolver o sistema:
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 3A-B=0. \end{cases}
Somando as duas equações: 4A=1\Rightarrow A=\dfrac{1}{4}\]. Então \(B=1-A=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.
Portanto a decomposição é
\frac{s}{(s-1)(s+3)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s-1}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{s+3}.]

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando a fórmula padrão \mathscr{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at} e a linearidade.
  • Para o primeiro termo, com a=1:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{t}.
  • Para o segundo termo, com a=-3:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+3}\right\}=e^{-3t}.
Multiplicando pelas constantes obtidas em frações parciais e somando:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+2s-3}\right\}=\frac{1}{4}e^{t}+\frac{3}{4}e^{-3t},\qquad t\ge0.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): calcular a transformada direta do resultado para checar.
\mathscr{L}\!\left\{\frac{1}{4}e^{t}+\frac{3}{4}e^{-3t}\right\}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s-1}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{s+3}.
Colocando sobre o mesmo denominador (s-1)(s+3):
\frac{1}{4}\cdot\frac{s+3}{(s-1)(s+3)}+\frac{3}{4}\cdot\frac{s-1}{(s-1)(s+3)} =\frac{\frac{1}{4}(s+3)+\frac{3}{4}(s-1)}{(s-1)(s+3)}.
No numerador:
\frac{1}{4}(s+3)+\frac{3}{4}(s-1)=\frac{1}{4}s+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}s-\frac{3}{4}=s.
Logo a transformada é \dfrac{s}{(s-1)(s+3)}=\dfrac{s}{s^{2}+2s-3}, confirmação ok.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}e^{t}+\frac{3}{4}e^{-3t}

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