Exercício 5.6 Nos problemas a seguir, calcule:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{(s+2)^{3}}{s^{4}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{(s+2)^{3}}{s^{4}}\right\}.
Informações dadas:
  • A expressão no domínio de Laplace é \dfrac{(s+2)^{3}}{s^{4}}.
  • É pedido encontrar a função no tempo f(t) tal que \mathscr{L}\{f(t)\}=\dfrac{(s+2)^{3}}{s^{4}}.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula e propriedades que vou usar):
  • Linearidade da transformada de Laplace: \mathscr{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathscr{L}\{f(t)\}+b\,\mathscr{L}\{g(t)\}.
  • Fórmula padrão para potências de t:
\mathscr{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}\quad\text{para inteiro }n\ge0.
A partir disso segue a inversa padrão
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{\,n+1}}\right\}=\frac{t^{n}}{n!}.
Essas duas ideias (linearidade + tabela t^{n}) são suficientes para inverter a expressão se a separarmos em somas de potências de 1/s.

Passo 3

Faço primeiro a álgebra numa etapa só (expansão do numerador e divisão por s^{4}):
(s+2)^{3}=s^{3}+6s^{2}+12s+8,
portanto
\frac{(s+2)^{3}}{s^{4}} =\frac{s^{3}}{s^{4}}+\frac{6s^{2}}{s^{4}}+\frac{12s}{s^{4}}+\frac{8}{s^{4}} =\frac{1}{s}+\frac{6}{s^{2}}+\frac{12}{s^{3}}+\frac{8}{s^{4}}.

Passo 4

Agora vou inverter termo a termo usando \mathscr{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^{n+1}}\right\}=\dfrac{t^{n}}{n!}:
  • \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1, porque corresponde a t^{0}/0!=1.
  • \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t, porque corresponde a t^{1}/1!.
  • \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2!}=\dfrac{t^{2}}{2}.
  • \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{4}}\right\}=\dfrac{t^{3}}{3!}=\dfrac{t^{3}}{6}.

Passo 5

Multiplico cada inversa pelo coeficiente correspondente e faço as contas:
  • Para \dfrac{1}{s} obtém-se 1.
  • Para \dfrac{6}{s^{2}} obtém-se 6\cdot t = 6t.
  • Para \dfrac{12}{s^{3}} obtém-se 12\cdot \dfrac{t^{2}}{2}=6t^{2}.
  • Para \dfrac{8}{s^{4}} obtém-se 8\cdot \dfrac{t^{3}}{6}=\dfrac{8}{6}t^{3}=\dfrac{4}{3}t^{3}.
Somando esses termos, obtém-se a função no tempo (veja a seção

Resposta

1+6t+6t^{2}+\dfrac{4}{3}t^{3}

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