Exercício 5.6 Nos problemas a seguir, calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função racional abaixo:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a inverter é
. - O denominador pode ser fatorado como produto de dois fatores lineares em
(isso será útil).
Não começarei a resolver aqui — apenas listei o que temos e o que se pede.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para deixar a expressão em forma adequada para decomposição em frações parciais. Fatorando:
Portanto a função fica
Observação: o numerador tem grau
e o denominador grau
, então a fração é própria — condição que permite aplicar decomposição em frações parciais simples.
Passo 3
Aplicar decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em
:
Agora expandimos o lado direito:
Igualando coeficientes de
e termo constante, temos o sistema
Da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
Assim a decomposição é
Passo 4
Agora usamos propriedades básicas da transformada de Laplace inversa. Vamos relembrar as fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- Definição/idéia: se
, então . - Fórmulas padrão úteis:
-
. Isto significa que . Aqui a variável de tempo é (isto é, significa a função constante para ). -
(válido para ). Isso implica .
-
- Linearidade:
, para constantes .
Usaremos essas fórmulas com
e com os coeficientes
e
encontrados.
Passo 5
Aplicando a transformada inversa termo a termo na decomposição:
porque
.
porque
.
Somando as duas partes (pela linearidade) obtemos a função no tempo:
Somando as duas partes (pela linearidade) obtemos a função no tempo:
Opcionalmente, pode-se escrever em fator comum:
Passo 6
Verificação rápida (controle de erro): calcular a transformada de
:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
que é exatamente a função dada. A verificação bate, então a resposta está correta.