Exercício 5.6 Nos problemas a seguir, calcule:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}-4 s}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função racional abaixo:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{s^{2}-4s}\right\}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a inverter é \dfrac{s+1}{s^{2}-4s}.
  • O denominador pode ser fatorado como produto de dois fatores lineares em s (isso será útil).
    Não começarei a resolver aqui — apenas listei o que temos e o que se pede.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para deixar a expressão em forma adequada para decomposição em frações parciais. Fatorando:
s^{2}-4s = s(s-4).
Portanto a função fica
\frac{s+1}{s^{2}-4s}=\frac{s+1}{s(s-4)}.
Observação: o numerador tem grau 1 e o denominador grau 2, então a fração é própria — condição que permite aplicar decomposição em frações parciais simples.

Passo 3

Aplicar decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{s+1}{s(s-4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-4}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-4) obtemos a identidade em s:
s+1 = A(s-4) + B s.
Agora expandimos o lado direito:
s+1 = (A+B)s - 4A.
Igualando coeficientes de s e termo constante, temos o sistema
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] -4A = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem
A = -\tfrac{1}{4}.
Substituindo na primeira:
-\tfrac{1}{4} + B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = 1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{4}.
Assim a decomposição é
\frac{s+1}{s(s-4)} = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{s} + \tfrac{5}{4}\cdot\frac{1}{s-4}.]

Passo 4

Agora usamos propriedades básicas da transformada de Laplace inversa. Vamos relembrar as fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Definição/idéia: se F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt, então \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t).
  • Fórmulas padrão úteis:
    • \mathscr{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Isto significa que \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1. Aqui a variável de tempo é t (isto é, 1 significa a função constante f(t)=1 para t\ge0).
    • \mathscr{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} (válido para \Re(s)>a). Isso implica \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
  • Linearidade: \mathscr{L}^{-1}\{\alpha F(s)+\beta G(s)\}=\alpha \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}+\beta \mathscr{L}^{-1}\{G(s)\}, para constantes \alpha,\beta.
Usaremos essas fórmulas com a=4 e com os coeficientes A e B encontrados.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo na decomposição:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{-\tfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{s}\right\} = -\tfrac{1}{4}\cdot 1 = -\tfrac{1}{4},
porque \mathscr{L}^{-1}\{1/s\}=1.
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\tfrac{5}{4}\cdot\frac{1}{s-4}\right\} = \tfrac{5}{4}\,e^{4t},
porque \mathscr{L}^{-1}\{1/(s-4)\}=e^{4t}.
Somando as duas partes (pela linearidade) obtemos a função no tempo:
f(t)= -\tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{4}\,e^{4t}.
Opcionalmente, pode-se escrever em fator comum:
f(t)=\tfrac{1}{4}\bigl(5e^{4t}-1\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (controle de erro): calcular a transformada de \,f(t)=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{5}{4}e^{4t}\,:
\mathscr{L}\{f(t)\} = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{s} + \tfrac{5}{4}\cdot\frac{1}{s-4} = \frac{-1}{4s} + \frac{5}{4(s-4)}.
Colocando sobre o mesmo denominador s(s-4):
\frac{-1}{4s} + \frac{5}{4(s-4)} = \frac{-1\cdot(s-4)+5s}{4s(s-4)} = \frac{-s+4+5s}{4s(s-4)} = \frac{4s+4}{4s(s-4)} = \frac{s+1}{s(s-4)},
que é exatamente a função dada. A verificação bate, então a resposta está correta.

Resposta

-\tfrac{1}{4}+\tfrac{5}{4}\,e^{4t}

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