Exercício 4 (D.L.2.6)
Mostre que se v=(x1, x2) in R^2 é um autovalor de A=(cclambda & 0 1 & lambda) in M2(R) então x1=0. Em particular, mostre que A não possui dois autovetores linearmente independentes e que, portanto, não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = lambda & 0 1 & lambda
e pede para mostrar que, se v=(x1,x2)inR^2 é um autovetor associado ao autovalor lambda, então x1=0. Em seguida, devemos concluir que não há dois autovetores linearmente independentes e, portanto, A não é diagonalizável. O conteúdo é autovalores e autovetores, cálculo do espaço próprio e critério de diagonalizabilidade (é diagonalizável em R^2 se e somente se existir uma base de autovetores).

Passo 2

Pela definição de autovetor, temos
ou seja
Isso gera o sistema de equações

Passo 3

Da primeira equação lambda x1=lambda x1 nada se conclui (é identidade). Da segunda temos
x1 + lambda x2 = lambda x2 Longrightarrow x1=0
Logo qualquer autovetor v satisfaz ,x1=0.

Passo 4

Como um autovetor não pode ser o vetor zero, obrigatoriamente x2neq0. Assim todo autovetor tem a forma
v = (0,x2) = x2,(0,1),
isto é, o espaço próprio é gerado por um único vetor (0,1) e tem dimensão 1. Para ser diagonalizável em R^2, seria preciso ter dois autovetores linearmente independentes, o que não ocorre aqui.

Resposta

x1=0. A matriz A não possui dois autovetores linearmente independentes e, portanto, não é diagonalizável.

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