Exercício 5 (D.L.2.7)
Se
é um autovetor da matriz
e
é uma solução de
tal que
para algum
, mostre que
para cada
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
e que
é um autovetor de
, ou seja, existe
tal que
Também temos que
satisfaz a EDO
e em algum tempo
vale
, onde
Queremos mostrar que então
para todo
.
Passo 2
Primeiro note que a reta
é invariante por
: se
então
para algum
, e
Isso significa que
envia qualquer vetor em
de volta para
.
Passo 3
Como
, podemos escrever
com
. Agora procuramos uma solução da forma
onde
é uma função escalar a determinar.
Passo 4
Derivando
e usando
, obtemos
Para que
satisfaça a EDO
, basta que
Como
, isso implica a equação escalar
cuja solução geral é
Passo 5
Portanto
e notamos que
. Pela unicidade de solução do problema de valor inicial para EDOs lineares,
para todo
. Em particular, para cada
Resposta
Mostramos que
permanece em
para todo
.