Exercício 5 (D.L.2.7)
Se v in R^n é um autovetor da matriz A in Mn(R) e x: R R^n é uma solução de x^prime=A x tal que x(t^*) in[v]= a v in R^n ; a in R para algum t^* in R, mostre que x(t) in[v] para cada t in R.

Passo 1

O enunciado diz que Ain Mn(R) e que vinR^n é um autovetor de A, ou seja, existe lambdainR tal que
A v = lambda v
Também temos que x:RtoR^n satisfaz a EDO
x'(t)=A,x(t)
e em algum tempo t^* vale x(t^*)in[v], onde
[v]=,a,v : ainR
Queremos mostrar que então x(t)in[v] para todo t.

Passo 2

Primeiro note que a reta [v] é invariante por A: se win[v] então w = a,v para algum a, e
A,w = A,(a,v) = a,(A,v) = a,(lambda v) = (lambda a),v in [v]
Isso significa que A envia qualquer vetor em [v] de volta para [v].

Passo 3

Como x(t^*)in[v], podemos escrever
x(t^*) = c^*,v
com c^*inR. Agora procuramos uma solução da forma
y(t) = c(t),v,
onde c:RtoR é uma função escalar a determinar.

Passo 4

Derivando y(t) e usando A,v=lambda v, obtemos
y'(t) = c'(t),v,
A,y(t) = A,(c(t),v) = c(t),A,v = c(t),lambda v
Para que y satisfaça a EDO y'=A,y, basta que
c'(t),v = c(t),lambda v
Como vneq0, isso implica a equação escalar
c'(t) = lambda,c(t),
cuja solução geral é
c(t) = c^*,e^lambda (t - t^*)

Passo 5

Portanto
y(t) = c(t),v = c^*,e^lambda (t - t^*),v
e notamos que y(t^*)=c^*v=x(t^*). Pela unicidade de solução do problema de valor inicial para EDOs lineares, x(t)equiv y(t) para todo t. Em particular, para cada t
x(t) = y(t) = l(c^*,e^lambda (t - t^*)r),v in [v]

Resposta

Mostramos que x(t) permanece em [v] para todo tinR.

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