Exercício 6 Um dispositivo eletrônico é formado por 2 componentes. O componente 1 funciona com probabilidade de 0,9 e o componente 2 funciona com probabilidade 0,7 . Suponha que os componentes funcionem de forma independente. O dispositivo falha quando algum componente falha.
(a) Calcule a probabilidade do dispositivo falhar;
(b) Sabendo que o dispositivo falhou, calcule a probabilidade do componente 1 ter falhado.

Passo 1

O enunciado diz que o componente 1 funciona com probabilidade ,0,9 e o componente 2 com probabilidade ,0,7, de forma independente, e que o dispositivo falha se algum componente falhar. Vamos usar o fato de que, para eventos independentes,
P(Acap B)=P(A),P(B),
alem de ,P(falha)=1-P(funciona) e a fórmula de probabilidade condicional (teorema de Bayes):
P(Amid B)=P(Acap B)P(B)

Passo 2

Para achar P(dispositivo falha), note que ele funciona somente se ambos funcionarem. Então
P(funciona)=P(E1cap E2)=0,9cdot0,7=0,63,
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P(falha)=1-0,63=0,37

Passo 3

Queremos
P(comp1 falhoumid dispositivo falhou) =P(comp1 falhacapdispositivo falha)P(dispositivo falhou)
Como sempre que o componente 1 falha o dispositivo falha, temos
P(comp1 falhacapdispositivo falha) =P(comp1 falha)=1-0,9=0,1

Passo 4

Substituindo na fórmula de Bayes:
P(comp1 falhoumid dispositivo falhou) =0,10,37 =1037approx0,27

Resposta

(a) 0,37
(b) dfrac1037approx0,27

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