1. Os dados mostrados a seguir representam o número comprovado de deficientes mentais por 10.000 pessoas da população estimada do Reino Unido (y) e o número (em milhōes) de licenças emitidas (x) de receptores de ondas de rádio de uma TV. Ache o coeficiente de correlação amostral e realize um teste de hipótese bilateral. Use o nivel de significância de 0,04 . ( 2 pontos)
x 1,350 1,960 2,270 2,483 2,730 3,091 3,674 4,620 5,497 6,260 7,012 7,618 8,131 8,593
y 8 8 9 10 11 11 12 16 18 19 20 21 22 23

Passo 1

O enunciado fornece 14 pares (x_i,y_i) e pede o coeficiente de correlação amostral e o teste bilateral de
H_0:\rho=0\quad\text{vs.}\quad H_1:\rho\neq0
ao nível \alpha=0,04. O conteúdo é estatística inferencial: cálculo de r e uso da estatística t para correlação.

Passo 2

Vamos calcular as somas necessárias e aplicar a fórmula de r. Os dados levam a
n=14,\quad \sum x_i=65,289,\quad \sum y_i=208,
\sum x_i^2=385,428,\quad \sum y_i^2=3490,\quad \sum x_i y_i=1148,404.
A fórmula de Pearson é
r=\frac{n\sum x_i y_i-\sum x_i\sum y_i} {\sqrt{\bigl(n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2\bigr)\,\bigl(n\sum y_i^2-(\sum y_i)^2\bigr)}}.
Substituindo, obtemos
r\approx\frac{14\cdot1148,404-65,289\cdot208}{\sqrt{\bigl(14\cdot385,428-65,289^2\bigr)\bigl(14\cdot3490-208^2\bigr)}}\approx0,992.

Passo 3

Para testar H_0:\rho=0, usamos a estatística
t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}},
que sob H_0 segue t_{n-2}=t_{12}. O nível bilateral \alpha=0,04 leva a \alpha/2=0,02 em cada cauda.

Passo 4

Calculamos
t_{\rm obs}=\frac{0,992\sqrt{14-2}}{\sqrt{1-0,992^2}} \approx\frac{0,992\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{1-0,9841}} \approx27,3.
O valor crítico é t_{0,98;12}\approx2,40. Como |t_{\rm obs}|=27,3\gg2,40, rejeitamos H_0.

Resposta

O coeficiente de correlação amostral é aproximadamente r=0,992. Ao nível \alpha=0,04 rejeitamos H_0, concluindo que há correlação linear significativa entre x e y.

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