Exercício 1. Suponha que
.
(a) Se
, mostre que
;
(b) Denote
. Mostre que
.
(a) Se
(b) Denote
Passo 1
O enunciado diz que
tem distribuição Gama com parâmetros de forma
e de taxa
, ou seja
(a) Se
, precisamos mostrar que a densidade de
coincide com a densidade de
.
(b) Para , precisamos usar a transformação de variáveis e verificar que
também tem distribuição
.
(b) Para
Passo 2
Vamos escrever a densidade de
. Como
e
, para
vale
Passo 3
Se
, então
e a densidade vira
que é exatamente a forma canônica da densidade de
. Logo
Passo 4
Agora definimos
. Pela fórmula de transformação de densidade, para
temos
Substituindo
em
:
Fatorando potências de
obtém-se
que novamente é a densidade de
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)