Exercício 1. Suponha que X \sim \operatorname{Gama}\left(\frac{r}{2}, \frac{s}{2}\right).
(a) Se s=1, mostre que X \sim \chi_{r}^{2};
(b) Denote Y=s X. Mostre que Y \sim \chi_{r}^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição Gama com parâmetros de forma \alpha = r/2 e de taxa \beta = s/2, ou seja
X\sim \mathrm{Gamma}\bigl(r/2,\;s/2\bigr).
(a) Se s=1, precisamos mostrar que a densidade de X coincide com a densidade de \chi^2_r.
(b) Para Y = s\,X, precisamos usar a transformação de variáveis e verificar que Y também tem distribuição \chi^2_r.

Passo 2

Vamos escrever a densidade de X. Como \alpha = r/2 e \beta = s/2, para x>0 vale
f_X(x) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1}e^{-\beta x} = \frac{\bigl(\tfrac{s}{2}\bigr)^{r/2}}{\Gamma\bigl(r/2\bigr)}\,x^{\tfrac{r}{2}-1} \exp\!\Bigl(-\tfrac{s}{2}x\Bigr).

Passo 3

Se s=1, então \beta = 1/2 e a densidade vira
f_X(x) = \frac{\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{r/2}}{\Gamma\bigl(r/2\bigr)}\,x^{\tfrac{r}{2}-1} e^{-x/2},
que é exatamente a forma canônica da densidade de \chi^2_r. Logo
X\sim \chi^2_r.

Passo 4

Agora definimos Y = s\,X. Pela fórmula de transformação de densidade, para y>0 temos
f_Y(y) = \frac{1}{s}\;f_X\!\bigl(y/s\bigr).
Substituindo x = y/s em f_X(x):
f_Y(y) = \frac{1}{s}\,\frac{\bigl(\tfrac{s}{2}\bigr)^{r/2}}{\Gamma\bigl(r/2\bigr)} \Bigl(\tfrac{y}{s}\Bigr)^{\tfrac{r}{2}-1} \exp\!\Bigl(-\tfrac{s}{2}\cdot\tfrac{y}{s}\Bigr).
Fatorando potências de s obtém-se
f_Y(y) = \frac{(s/2)^{r/2}}{\Gamma(r/2)}\,s^{-\tfrac{r}{2}}\,y^{\tfrac{r}{2}-1} e^{-y/2} = \frac{(1/2)^{r/2}}{\Gamma(r/2)}\,y^{\tfrac{r}{2}-1}e^{-y/2},
que novamente é a densidade de \chi^2_r.

Resposta

(a) X\sim \chi^2_r.
(b) Y=sX\sim \chi^2_r.

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