Exercício 2. (F. 3.1, ex.4) Sejam u1=13(1,2 i,-2 i, 0), u2=15(2-4 i,-2, i, 0), u3=115(4+2 i, 5+8 i, 4+10 i, 0) e u4=(0,0,0, i).
i) Mostre que u1, ldots, u4 é um conjunto ortonormal de C^4, ou seja, mostre que
lang<= un, umrang<==de<an m=l 1, se n=m 0, se n neq m
(Lembremos que o produto interno é dado por lang<=(x1, x2, x3, x4),(y1, y2, y3, y4)rang<==x1 y1+ldots+x4 y4.
ii) Expresse os vetores (1,0,0,0) e (2,10-i, 10-9 i,-3) como combinação linear dos vetores u1, ldots, u4. Use que
u=lang<= u, u1rang<= u1+lang<= u, u2rang<= u2+lang<= u, u3rang<= u3+lang<= u, u4rang<= u4

Passo 1

O enunciado pede, em (i), mostrar que o conjunto u1,dots,u4 em C^4 é ortonormal segundo o produto interno
lang<= x,yrang<==x1y1+cdots+x4y4
Em (ii), expressar os vetores (1,0,0,0) e (2,10-i,10-9i,-3) como combinação linear dos uk usando a fórmula
u=sumk=1^4lang<= u,ukrang<=,uk

Passo 2

Calculamos as normas dos vetores:
lang<= u1,u1rang<= = 1+4+4+09=1
lang<= u2,u2rang<= = |2-4i|^2+4+1+025 = 20+4+125=1
lang<= u3,u3rang<= = |4+2i|^2+|5+8i|^2+|4+10i|^2+0225 = 20+89+116225=1
lang<= u4,u4rang<= = |i|^2=1

Passo 3

Mostramos a ortogonalidade:
lang<= u1,u2rang<= = 0, lang<= u1,u3rang<= = 0, lang<= u2,u3rang<= = 0,
lang<= uk,u4rang<= = 0 (k=1,2,3)

Passo 4

Como cada lang<= uk,ukrang<==1 e lang<= un,umrang<==0 para nneq m, concluímos que u1,dots,u4 é um conjunto ortonormal em C^4.

Passo 5

Para e1=(1,0,0,0) usamos
e1=sumk=1^4lang<= e1,ukrang<=,uk.
Calculando
lang<= e1,u1rang<==tfrac13,
lang<= e1,u2rang<==tfrac2+4i5,
lang<= e1,u3rang<==tfrac4-2i15,
lang<= e1,u4rang<==0,
obtemos
e1=tfrac13u1+tfrac2+4i5u2+tfrac4-2i15u3

Passo 6

Para v=(2,10-i,10-9i,-3) calculamos
lang<= v,u1rang<==6,
lang<= v,u2rang<==-5,
lang<= v,u3rang<==-15i,
lang<= v,u4rang<==3i,
e assim
v=6u1-5u2-15i,u3+3i,u4

Resposta

i) u1,u2,u3,u4 é um conjunto ortonormal de C^4.
ii) (1,0,0,0)=tfrac13u1+tfrac2+4i5u2+tfrac4-2i15u3,
(2,10-i,10-9i,-3)=6u1-5u2-15i,u3+3i,u4

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