Verifique se o subconjunto S do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) é L.I. ou L.D. .
S \doteq\{p, q\} e V \doteq \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, onde
p(t) \doteq 1+t-t^{2}, \quad q(t) \doteq 2+5 t-9 t^{2}, \text { para } t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se S=\{p,q\}\subset V=\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) é linearmente independente ou dependente, onde
p(t)=1+t-t^{2}, \quad q(t)=2+5t-9t^{2}.
O conteúdo é teste de independência linear em um espaço de polinômios de grau até 2, que fazemos verificando se a combinação linear que gera o polinômio zero tem apenas a solução trivial.

Passo 2

Vamos considerar a combinação linear genérica
a\,p(t)+b\,q(t)=0\quad\forall\,t\in\mathbb{R},
isto é,
a\bigl(1+t-t^{2}\bigr)+b\bigl(2+5t-9t^{2}\bigr)=0.
Como isso deve valer para todo t, igualamos coeficientes de 1, t e t^{2}.

Passo 3

Igualando coeficientes, obtemos o sistema
\begin{cases} \text{constante:}&a+2b=0,\\\ \text{coeficiente de }t:&a+5b=0,\\\ \text{coeficiente de }t^{2}:&-a-9b=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda vem (a+5b)-(a+2b)=3b=0, logo b=0. Então da primeira equação a+2\cdot0=0 a=0.

Passo 4

Como a única solução é a=0 e b=0, a combinação linear trivial é a única que gera o polinômio zero. Logo, p e q não são múltiplos um do outro e formam um conjunto linearmente independente.

Resposta

O conjunto S=\{p,q\} é linearmente independente.

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