Verifique se o subconjunto S do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) é L.I. ou L.D. .
S \doteq\left\{\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ -1 & 0\end{array}\right)\right\}, V \doteq M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = M_{2}(\mathbb{R}) e o subconjunto
S = \Bigl\{A,\,B\Bigr\},
onde
A = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
Queremos determinar se S é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). Para isso, usamos a definição: S é L.I. se, sempre que
\alpha A + \beta B = 0,
temos \alpha = \beta = 0.]

Passo 2

Escrevendo a combinação
\alpha A + \beta B = \alpha \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}2 & 0 \\[3pt]-1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\alpha + 2\beta & \alpha \\[3pt] -\,\beta & 0 \end{pmatrix}
e exigindo que seja a matriz zero.]

Passo 3

Igualando cada entrada à zero, obtemos o sistema linear em \alpha e \beta:
\begin{cases} -\alpha + 2\beta = 0,\\\ \alpha = 0,\\\\ -\,\beta = 0,\\\\ 0 = 0\\ (\text{trivial}). \end{cases}

Passo 4

Das segunda e terceira equações já vem
\alpha = 0 \quad\text{e}\quad \beta = 0.
A primeira fica então 0 = 0, consistente. Logo, a única solução é a trivial.

Passo 5

Como \alpha A + \beta B = 0 implica necessariamente \alpha=\beta=0, concluímos que A e B são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente (L.I.).

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