Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^prime prime+3 y^prime-4 y=2 e^t-8 e^2 de

Passo 1

Vamos achar a solução da EDO y''+3y'-4y=2e^t-8e^2de com y(0)=2, y'(0)=0 usando transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como Y(s)= Ly(t), temos:
s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+3l(sY(s)-y(0)r)-4Y(s)=2s-1-8e^2e^-2s
Substituindo y(0)=2 e y'(0)=0 e reunindo termos:
(s^2+3s-4)Y(s)-2s-6=2s-1-8e^2e^-2s

Passo 3

Isolando Y(s) obtemos três parcelas:
Y(s)=underbrace2(s+3)(s-1)(s+4)Y1(s)+underbrace2(s-1)^2(s+4)Y2(s)-underbrace8e^2e^-2s(s-1)(s+4)Y3(s)

Passo 4

Vamos inverter cada parcela separadamente.
  1. Y1(s)=tfrac2(s+3)(s-1)(s+4). Fazendo frações parciais:
2(s+3)(s-1)(s+4)=8/5s-1+2/5s+4
Logo y1(t)=tfrac85e^t+tfrac25e^-4t

Passo 5

  1. Y2(s)=tfrac2(s-1)^2(s+4). Em frações parciais obtemos
2(s-1)^2(s+4)=-2/25s-1+2/5(s-1)^2+2/25s+4
Assim
y2(t)=-225e^t+25te^t+225e^-4t

Passo 6

  1. Para o impulso fica Y3(s)=-8e^2e^-2s/[(s-1)(s+4)]. Sem o termo e^-2s a inversa é
    h(tau)=tfrac15(e^tau-e^-4tau). Pelo deslocamento de segunda entrada:
y3(t)=-8e^25l(e^t-2-e^-4(t-2)r)u(t-2)
Note que u(t-2) é a função degrau em t=2.

Passo 7

Somando tudo, a solução em forma peça a peça é:
Para 0<= t<2:
$$ y(t)=\frac{8}{5}et+\frac{2}{5}e{-4t}-\frac{2}{25}et+\frac{2}{5}tet+\frac{2}{25}e^{-4t}
=\frac{38}{25}et+\frac{12}{25}e{-4t}+\frac{2}{5}te^t. y(t)=85e^t+25e^-4t-225e^t+25te^t+225e^-4t =3825e^t+1225e^-4t+25te^t y(t)=\frac{38}{25}et+\frac{12}{25}e{-4t}+\frac{2}{5}tet-\frac{8e2}{5}e{t-2}+\frac{8e2}{5}e^{-4(t-2)}. $$

Passo 8

Podemos reorganizar para t>2 como
y(t)=l(tfrac25t-tfrac225r)e^t+l(tfrac1225+tfrac85e^10r)e^-4t

Passo 9

Discussão gráfica:
  • y(t) é contínua em t=2, mas y'(t) sofre salto causado pelo impulso.
  • Para t<2 misturamos um modo crescente e^t,te^t e um decrescente e^-4t.
  • No instante t=2, o termo do impulso reduz momentaneamente a inclinação.
  • Para t>2 o crescimento em e^t domina e y(t) volta a crescer exponencialmente.

Passo 10

A partir dessas expressões dá para traçar facilmente um esboço: cresce de forma suave até t=2, há um choque na inclinação e depois retoma o crescimento ainda mais rápido.

Resposta

Para 0\le t<2:
y(t)=3825e^t+1225e^-4t+25te^t
Para t>2:
y(t)=l(tfrac25t-tfrac225r)e^t+l(tfrac1225+tfrac85e^10r)e^-4t

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