Exercício 0.8 Mostre que: \frac{1}{2}\{a+b-|a-b|\}=\min \{a, b\}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\frac12\bigl(a+b-|a-b|\bigr)=\min\{a,b\}.
O conteúdo principal é a definição por partes do valor absoluto e a definição de mínimo, que diz \min\{a,b\}=a se a\le b e \min\{a,b\}=b se b\le a.

Passo 2

Lembramos a definição por partes de |a-b|:
|a-b| = \begin{cases} a-b, & \text{se }a-b\ge0 \quad(\text{ou seja, }a\ge b),\\\ b-a, & \text{se }a-b<0 \quad(\text{ou seja, }a<b). \end{cases}

Passo 3

Caso a\ge b, temos |a-b|=a-b. Substituindo na expressão,
\frac12\bigl(a+b-|a-b|\bigr) = \frac12\bigl(a+b-(a-b)\bigr) = \frac12(2b) = b.
Como neste caso b\le a, segue que b=\min\{a,b\}.

Passo 4

Caso a<b, temos |a-b|=b-a. Substituindo,
\frac12\bigl(a+b-|a-b|\bigr) = \frac12\bigl(a+b-(b-a)\bigr) = \frac12(2a) = a.
Como a<b, fica a=\min\{a,b\}.

Resposta

\displaystyle \frac12\{a+b-|a-b|\}=\min\{a,b\}.

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