Exercício 0.5 Mostre que: \log _{10} 5 é irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \log_{10} 5 é irracional. Vamos usar uma prova por absurdo e o Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração única em primos).

Passo 2

Suponha, por absurdo, que \log_{10} 5 seja racional. Então existem inteiros positivos p e q sem fatores comuns tais que
\log_{10} 5 = \frac{p}{q}.

Passo 3

Elevando ambos os lados como expoente de base 10, obtemos
10^{\frac{p}{q}} = 5
e, portanto,
10^p = 5^q.

Passo 4

Escrevendo 10^p = 2^p \cdot 5^p, a igualdade 2^p \,5^p = 5^q implica
2^p = 5^{\,q-p}.
O lado esquerdo é uma potência de 2 e o direito é uma potência de 5. Pela fatoração única, isso só pode ocorrer se p=0 e q-p=0. Mas p=0 levaria a \log_{10} 5=0, contradizendo 10^0=1\neq5.

Passo 5

Chegamos a uma contradição. Logo \log_{10} 5 não pode ser racional, isto é, é irracional.

Resposta

\log_{10} 5 é irracional.

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