Exercício 0.5 Mostre que:
é irracional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é irracional. Vamos usar uma prova por absurdo e o Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração única em primos).
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existem inteiros positivos
e
sem fatores comuns tais que
Passo 3
Elevando ambos os lados como expoente de base 10, obtemos
e, portanto,
Passo 4
Escrevendo
, a igualdade
implica
O lado esquerdo é uma potência de
e o direito é uma potência de
. Pela fatoração única, isso só pode ocorrer se
e
. Mas
levaria a
, contradizendo
.
Passo 5
Chegamos a uma contradição. Logo
não pode ser racional, isto é, é irracional.