Exercício 0.7 Mostre que: \frac{1}{2}\{a+b+|a-b|\}=\max \{a, b\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números reais a\) e \(b\), vale \[\frac{1}{2}\bigl(a + b + |a - b|\bigr) \;=\;\max\{a,b\}.
O que vamos usar é a definição do valor absoluto
|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0,\\\\ -\,x, & x<0, \end{cases}
e a definição de máximo em dois casos: a\ge b\] e \(a<b.

Passo 2

Caso a\ge b: então a-b\ge0 e
|a-b| = a-b.
Logo
\frac{1}{2}\bigl(a + b + |a - b|\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(a + b + (a - b)\bigr) = \frac{1}{2}\,(2a) = a.
Como \max\{a,b\}=a quando a\ge b, a igualdade se verifica nesse caso.

Passo 3

Caso a<b: então a-b<0 e
|a-b| = -(a-b) = b-a.
Logo
\frac{1}{2}\bigl(a + b + |a - b|\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(a + b + (b - a)\bigr) = \frac{1}{2}\,(2b) = b.
Como \max\{a,b\}=b quando a<b, a igualdade se verifica também nesse caso.

Passo 4

Em ambos os casos — a\ge b e a<b — a expressão \tfrac12\bigl(a+b+|a-b|\bigr) coincide com \max\{a,b\}. Portanto a identidade está provada.

Resposta

\frac{1}{2}\bigl(a + b + |a - b|\bigr) = \max\{a,b\}.

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