Exercício 5. Mostre que uma função diferenciável f decresce mais rapidamente num ponto ( x_{0}, y_{0} ) na direção oposta a do vetor gradiente, isto é, na direção \vec{v}=-\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dada uma função diferenciável f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e um ponto (x_0,y_0), a direção em que f decresce mais rapidamente em (x_0,y_0) é a direção oposta ao vetor gradiente, ou seja, \vec v=-\nabla f(x_0,y_0). Vamos usar o conceito de derivada direcional e o fato de que, para uma função diferenciável, a derivada direcional em qualquer vetor unitário \vec u é o produto escalar \nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec u.

Passo 2

Definimos a derivada direcional de f em (x_0,y_0) na direção do vetor unitário \vec u por
D_{\vec u}f(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f\bigl((x_0,y_0)+h\vec u\bigr)-f(x_0,y_0)}{h}.
Como f é diferenciável, sabe-se que
D_{\vec u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec u.

Passo 3

Para investigar em qual direção D_{\vec u}f(x_0,y_0) fica mais negativo (isto é, o decrescimento mais rápido), aplicamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
\bigl|\nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec u\bigr|\le \|\nabla f(x_0,y_0)\|\,\|\vec u\|.
Como \|\vec u\|=1, isso implica
-\|\nabla f(x_0,y_0)\|\le \nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec u\le \|\nabla f(x_0,y_0)\|.
O menor valor possível de D_{\vec u}f(x_0,y_0) é, portanto, -\|\nabla f(x_0,y_0)\|.

Passo 4

A igualdade \nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec u=-\|\nabla f(x_0,y_0)\| ocorre exatamente quando \vec u é paralelo a -\nabla f(x_0,y_0). Como \vec u deve ser unitário, a direção que atinge o mínimo é
\vec u = -\,\frac{\nabla f(x_0,y_0)}{\|\nabla f(x_0,y_0)\|}.
Multiplicando esse \vec u por qualquer escalar positivo, obtemos vetores na direção -\nabla f(x_0,y_0).

Resposta

A função decresce mais rapidamente em (x_0,y_0) na direção
\vec v=-\nabla f(x_0,y_0),
isto é, na direção oposta ao gradiente.

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