Encontre a direção de maior crescimento da função f no ponto P dado.
(d) f(x, y, z)=x \ln (y z), P=\left(1,2, \frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a direção de maior crescimento de
f(x,y,z)=x\ln(yz)
no ponto
P=\bigl(1,2,\tfrac12\bigr).
Para isso vamos usar o conceito de gradiente: a direção de maior crescimento de f num ponto é dada pelo vetor gradiente \nabla f avaliado nesse ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =\ln(yz),
\frac{\partial f}{\partial y} =x\frac{1}{y},
\frac{\partial f}{\partial z} =x\frac{1}{z}.

Passo 3

Agora avaliamos essas parciais em P=(1,2,\tfrac12). Como yz=2\cdot\tfrac12=1, temos \ln(yz)=0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}\Bigl|_{P}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}\Bigl|_{P} =\frac{1}{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial z}\Bigl|_{P} =2.
Assim
\nabla f(P)=\bigl(0,\tfrac12,2\bigr).

Passo 4

A direção de maior crescimento é o vetor gradiente normalizado. O módulo de \nabla f(P) é
\|\nabla f(P)\| =\sqrt{0^2+\bigl(\tfrac12\bigr)^2+2^2} =\sqrt{\tfrac14+4} =\frac{\sqrt{17}}{2}.
O vetor unitário nessa direção é
\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|} =\Bigl(0,\tfrac12,2\Bigr)\Big/\frac{\sqrt{17}}{2} =\Bigl(0,\tfrac{1}{\sqrt{17}},\tfrac{4}{\sqrt{17}}\Bigr).

Resposta

A direção de maior crescimento de f em P é dada pelo vetor
\nabla f(P)=\bigl(0,\tfrac12,2\bigr)
e o versor correspondente é
\bigl(0,\tfrac{1}{\sqrt{17}},\tfrac{4}{\sqrt{17}}\bigr).

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