Encontre a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor \vec{v} indicada.
(i) f(x, y)=x^{2} y+\operatorname{tg} y, P=(-1, \pi / 4), \vec{v}=(1,-2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^{2}y+\tan y no ponto P=(-1,\pi/4) na direção do vetor \vec v=(1,-2). Para isso, vamos usar o gradiente de f e a definição da derivada direcional:
D_{\vec u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec u,
onde \vec u é o vetor unitário na direção de \vec v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}+\operatorname{sec}^{2}y.

Passo 3

Avalia­mos o gradiente em P=(-1,\pi/4):
\frac{\partial f}{\partial x}(P)=2\cdot(-1)\cdot\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2},
\frac{\partial f}{\partial y}(P)=(-1)^{2}+\operatorname{sec}^{2}\!\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr) =1+2=3.
Logo,
\nabla f(P)=\Bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,3\Bigr).

Passo 4

Encontramos o vetor unitário \vec u na direção de \vec v=(1,-2). Primeiro a norma:
\|\vec v\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}.
Então
\vec u=\frac{1}{\sqrt{5}}\,(1,-2)=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},\,-\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr).

Passo 5

Aplicamos a definição da derivada direcional:
D_{\vec u}f(P) =\nabla f(P)\cdot\vec u =\Bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,3\Bigr)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},\,-\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr) =-\frac{\pi}{2\sqrt5}-\frac{6}{\sqrt5} =-\frac{\pi+12}{2\sqrt5}.

Resposta

-\frac{\pi+12}{2\sqrt5}.

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