Exercício 3. Mostre que uma função
é contínua no ponto
se, se somente se,
converge para
para toda sequência
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar uma equivalência: provar que uma função
é contínua em um ponto
se, e somente se, para toda sequência
com
vale que
.
Informações dadas e o que precisa ser mostrado:
- Temos uma função
. - Temos um ponto fixo
. - A condição a ser equivalente à continuidade é: "para toda sequência
com temos ". - Precisamos provar as duas implicações:
- Se
é contínua em então para toda sequência temos . - Se para toda sequência
temos então é contínua em .
- Se
Passo 2
Definição precisa de continuidade que vou usar (explico cada símbolo):
é contínua em
significa:
Aqui
é um número positivo que representa a precisão desejada para
em relação a
. O
é um número positivo que diz o quão perto de
devemos ficar (em termos de
) para garantir essa precisão. Essa é a definição
-
clássica.
Passo 3
Definição de convergência de sequência que vou usar (também explicando símbolos): dizemos que
se
Isto é: dado qualquer raio
ao redor de
, existe um índice
tal que todos os termos da sequência a partir de
caem dentro desse raio. Mesma ideia para
trocando
por
e
por
.
Passo 4
Prova da primeira implicação: continuidade em
implica propriedade sequencial.
Se
é contínua em
, então para cada
existe
tal que
Agora tomo uma sequência
com
. Pela definição de convergência de sequência, como
existe
tal que, para todo
,
Aplicando a implicação da continuidade aos termos
(para
) obtemos
Isso é exatamente a definição de
. Como
era arbitrário, concluímos que qualquer sequência
satisfaz
. Portanto a implicação está provada.
Passo 5
Comentário didático curto sobre o passo anterior: a ideia é simples — continuidade dá um raio
em
que garante um raio
em
. Sequências que entram nesse raio
a partir de algum índice produzem imagens que estão dentro do raio
a partir desse mesmo índice. É literalmente transferir a definição
-
para a linguagem de sequências.
Passo 6
Prova da segunda implicação: propriedade sequencial implica continuidade em
.
Vou provar por contradição (método que é prático aqui): suponha que a propriedade sequencial seja verdadeira (isto é, toda sequência
satisfaz
), mas suponha, em contrário, que
não seja contínua em
.
"Não ser contínua em
" significa que a definição
-
falha em algum
. Formalmente, existe
tal que
Essa é a negação exata da definição de continuidade.
Passo 7
Usando a falha da continuidade vou construir uma sequência que contradiz a hipótese sequencial.
Para cada
apliquei a afirmação acima com
. Assim, para cada
existe um ponto
tal que
Essa é uma construção concreta: escolho
com
e
, depois escolho
com
e
, e assim por diante.
Agora mostro que
. Pelo fato de
e
, é claro que
: dado
escolho
tal que
; então para todo
temos
. Assim a sequência
converge para
.
Passo 8
Conflito com a hipótese sequencial: note que para todo
temos
. Isso impede que
convirja para
, porque se
então, tomando
, existiria
tal que para todo
tivéssemos
, o que contradiz
. Logo
.
Portanto construí uma sequência
cuja imagem não converge para
. Isso contradiz a hipótese de que toda sequência que converge para
tem imagens convergentes para
. A contradição mostra que a suposição "
não é contínua em
" é falsa. Assim
deve ser contínua em
.
Passo 9
Resumo e observação prática (dica de prova/e prova em prova): mostramos as duas direções:
- continuidade em
propriedade sequencial, aplicando o dado pela continuidade e o fato de que sequências entram em qualquer intervalo a partir de algum índice; - propriedade sequencial
continuidade em , construindo, em caso de falta de continuidade, uma sequência que viola a propriedade, usando .
Um exemplo rápido para fixar a intuição: a função
definida por
se
e
não é contínua em
. A sequência
satisfaz
mas
para todo
, logo
. Isso ilustra a direção contrária.
Resposta
A função
é contínua em
se, e somente se, para toda sequência
com
vale
.