Exercício 3. Mostre que uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é contínua no ponto a se, se somente se, \left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} converge para f(a) para toda sequência \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} tal que \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \rightarrow a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma equivalência: provar que uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em um ponto a se, e somente se, para toda sequência \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} com x_{n}\to a vale que f(x_{n})\to f(a).
Informações dadas e o que precisa ser mostrado:
  • Temos uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • Temos um ponto fixo a\in\mathbb{R}.
  • A condição a ser equivalente à continuidade é: "para toda sequência \left(x_n\right) com x_n\to a temos f(x_n)\to f(a)".
  • Precisamos provar as duas implicações:
    1. Se f é contínua em a então para toda sequência x_n\to a temos f(x_n)\to f(a).
    2. Se para toda sequência x_n\to a temos f(x_n)\to f(a) então f é contínua em a.

Passo 2

Definição precisa de continuidade que vou usar (explico cada símbolo): f é contínua em a significa:
\text{para todo }\epsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }|x-a|<\delta\text{ então }|f(x)-f(a)|<\epsilon.ã
Aqui \epsilon é um número positivo que representa a precisão desejada para f(x) em relação a f(a). O \delta é um número positivo que diz o quão perto de a devemos ficar (em termos de x) para garantir essa precisão. Essa é a definição \epsilon- \delta clássica.

Passo 3

Definição de convergência de sequência que vou usar (também explicando símbolos): dizemos que x_n\to a se
\text{para todo }\epsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|x_n-a|<\epsilon.
Isto é: dado qualquer raio \epsilon>0 ao redor de a, existe um índice N tal que todos os termos da sequência a partir de N caem dentro desse raio. Mesma ideia para f(x_n)\to f(a) trocando x_n por f(x_n) e a por f(a).

Passo 4

Prova da primeira implicação: continuidade em a implica propriedade sequencial.
Se f é contínua em a, então para cada \epsilon>0 existe \delta>0 tal que
|x-a|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon.
Agora tomo uma sequência \left(x_n\right) com x_n\to a. Pela definição de convergência de sequência, como x_n\to a existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n-a|<\delta.
Aplicando a implicação da continuidade aos termos x_n (para n\ge N) obtemos
|f(x_n)-f(a)|<\epsilon\quad\text{para todo }n\ge N.
Isso é exatamente a definição de f(x_n)\to f(a). Como \epsilon>0 era arbitrário, concluímos que qualquer sequência x_n\to a satisfaz f(x_n)\to f(a). Portanto a implicação está provada.

Passo 5

Comentário didático curto sobre o passo anterior: a ideia é simples — continuidade dá um raio \delta em x que garante um raio \epsilon em f(x). Sequências que entram nesse raio \delta a partir de algum índice produzem imagens que estão dentro do raio \epsilon a partir desse mesmo índice. É literalmente transferir a definição \epsilon- \delta para a linguagem de sequências.

Passo 6

Prova da segunda implicação: propriedade sequencial implica continuidade em a.
Vou provar por contradição (método que é prático aqui): suponha que a propriedade sequencial seja verdadeira (isto é, toda sequência x_n\to a satisfaz f(x_n)\to f(a)), mas suponha, em contrário, que f não seja contínua em a.
"Não ser contínua em a" significa que a definição \epsilon- \delta falha em algum \epsilon. Formalmente, existe \epsilon_0>0 tal que
\text{para todo }\delta>0\text{ existe }x\text{ com }|x-a|<\delta\text{ e }|f(x)-f(a)|\ge \epsilon_0.
Essa é a negação exata da definição de continuidade.

Passo 7

Usando a falha da continuidade vou construir uma sequência que contradiz a hipótese sequencial.
Para cada n\in\mathbb{N} apliquei a afirmação acima com \delta=\tfrac{1}{n}. Assim, para cada n existe um ponto x_n tal que
|x_n-a|<\tfrac{1}{n}\quad\text{e}\quad |f(x_n)-f(a)|\ge \epsilon_0.
Essa é uma construção concreta: escolho x_1 com |x_1-a|<1 e |f(x_1)-f(a)|\ge\epsilon_0, depois escolho x_2 com |x_2-a|<1/2 e |f(x_2)-f(a)|\ge\epsilon_0, e assim por diante.
Agora mostro que x_n\to a. Pelo fato de |x_n-a|<1/n e 1/n\to 0, é claro que x_n\to a: dado \eta>0 escolho N tal que 1/N<\eta; então para todo n\ge N temos |x_n-a|<1/n\le 1/N<\eta. Assim a sequência (x_n) converge para a.

Passo 8

Conflito com a hipótese sequencial: note que para todo n temos |f(x_n)-f(a)|\ge\epsilon_0. Isso impede que f(x_n) convirja para f(a), porque se f(x_n)\to f(a) então, tomando \epsilon=\epsilon_0/2>0, existiria N tal que para todo n\ge N tivéssemos |f(x_n)-f(a)|<\epsilon_0/2, o que contradiz |f(x_n)-f(a)|\ge\epsilon_0. Logo f(x_n)\not\to f(a).
Portanto construí uma sequência x_n\to a cuja imagem não converge para f(a). Isso contradiz a hipótese de que toda sequência que converge para a tem imagens convergentes para f(a). A contradição mostra que a suposição " f não é contínua em a" é falsa. Assim f deve ser contínua em a.

Passo 9

Resumo e observação prática (dica de prova/e prova em prova): mostramos as duas direções:
  • continuidade em a\Rightarrow propriedade sequencial, aplicando o \delta dado pela continuidade e o fato de que sequências entram em qualquer intervalo (a-\delta,a+\delta) a partir de algum índice;
  • propriedade sequencial \Rightarrow continuidade em a, construindo, em caso de falta de continuidade, uma sequência x_n\to a que viola a propriedade, usando \delta=1/n.
Um exemplo rápido para fixar a intuição: a função g definida por g(x)=0 se x\ne 0 e g(0)=1 não é contínua em 0. A sequência x_n=\tfrac{1}{n} satisfaz x_n\to 0 mas g(x_n)=0 para todo n, logo g(x_n)\not\to g(0)=1. Isso ilustra a direção contrária.

Resposta

A função f é contínua em a se, e somente se, para toda sequência \left(x_n\right) com x_n\to a vale f(x_n)\to f(a).

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