Se o limite existe, dizemos que a integral impropina converge, caso contraño, diverge Exercicw: Determine a convergência on divergencia da integral impropria:
\int_{-\infty}^{0} e^{x} d x
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \,e^{x}\, e o intervalo de integração vai de -\infty até 0. Pergunta: a integral converge (tem valor finito) ou diverge? Se converge, qual é o valor?
Passo 2
Como o limite inferior é -\infty, essa é uma integral imprópria do tipo com um limite infinito. A definição prática que usaremos é escrever a integral como um limite de integrais próprias: definimos, para a<0,
I(a)=\int_{a}^{0} e^{x}\,dx
e dizemos que a integral imprópria converge se o limite
\lim_{a\to -\infty} I(a)
existe e é finito. Então nosso objetivo é calcular I(a) e depois tomar a\to -\infty.
Passo 3
Precisamos achar uma primitiva (antiderivada) de \,e^{x}. Lembre-se: a derivada de \,e^{x}\, é \,e^{x}\, novamente, então a própria função \,e^{x}\, é uma primitiva de si mesma. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x},
logo uma primitiva de \,e^{x}\, é \,e^{x}\,.
Passo 4
Usando a primitiva encontrada, avaliamos a integral própria \,I(a)=\int_{a}^{0} e^{x}\,dx pelo teorema fundamental do cálculo:
Sabemos que \lim_{t\to -\infty} e^{t}=0 (uma forma de ver isso é escrever e^{t}=1/e^{-t} e notar que, quando t\to -\infty, -t\to+\infty e e^{-t}\to+\infty, então 1/e^{-t}\to0). Portanto \lim_{a\to -\infty} e^{a}=0.
Passo 6
Substituindo esse resultado no limite anterior,
\lim_{a\to -\infty}\big(1-e^{a}\big)=1-0=1.
Como o limite existe e é finito, a integral imprópria converge e seu valor é 1.
Resposta
A integral converge e \displaystyle \int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx = 1