Exercício 3.6.2. Mostre que:
Ib=integral-2^0 3 y raiz4-y^2 d y=-8

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral
Ib=integral-2^03yraiz4-y^2,dy
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (mudança de variável) para integrar uma função do tipo yraiza - y^2.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4 - y^2,
pois dentro da raiz aparece 4 - y^2. Diferenciando, temos
du = -2y,dy Longrightarrow y,dy = -tfrac12,du
Assim, o fator 3y,dy vira
3y,dy = 3l(y,dyr) = 3l(-tfrac12,dur) = -tfrac32,du

Passo 3

Agora mudamos os limites de integração de y para u:
quando y=-2, u = 4 - (-2)^2 = 0;
quando y=0, u = 4 - 0^2 = 4.
Portanto,
Ib = integraly=-2^y=03yraiz4-y^2,dy = integralu=0^u=4l(-tfrac32r)raizu,du

Passo 4

Tornamos explícita a potência de u:
Ib = -tfrac32integral0^4u^tfrac12,du
Para integrar, usamos a regra integral u^alphadu = tfracu^alpha+1alpha+1:
integral u^tfrac12du = u^tfrac32tfrac32 = 23u^tfrac32
Logo,
Ib = -tfrac32 cdot 23,u^tfrac32|0^4 = -1cdot u^tfrac32|0^4

Passo 5

Substituímos os limites em u^3/2:
u^tfrac32|0^4 = (4)^tfrac32 - (0)^tfrac32 = 8 - 0 = 8
Portanto,
Ib = -1 times 8 = -8

Resposta

-8

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