Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime prime+4 y^prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 5y = 0
O conteúdo que vamos usar é o método do polinômio característico, que transforma a ODE num polinômio em r.

Passo 2

Associamos à equação diferencial o polinômio característico substituindo ysim e^rx, ou seja,
r^2 + 4r + 5 = 0
Esse polinômio vem de substituir y=e^rx, y'=r e^rx, y''=r^2 e^rx na ODE e dividir por e^rx.

Passo 3

Calculamos as raízes de
r^2 + 4r + 5 = 0
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot5 = 16 - 20 = -4,
logo as raízes são complexas conjugadas:
r = -4 pm raiz-42 = -2 pm i

Passo 4

Quando as raízes do característico são r = alpha pm ibeta, a solução geral da ODE é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Aqui alpha = -2 e beta = 1, portanto
y(x) = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr),
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr)

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