que envolve decomposição em frações parciais e depois integração de termos do tipo integral 1/(x-1),dx, integral (2x+1)/(x^2+x+1),dx e integral dx/(x^2+x+1). Vamos usar esses conteúdos para resolver.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
e escrevemos
x(x-1)(x^2+x+1) = Ax-1 + Bx + Cx^2+x+1
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+x+1), obtemos
x = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)
Expandindo e comparando coeficientes em x^2,x,1 dá o sistema
A + B = 0, A - B + C = 1, A - C = 0,
cuja solução é
A = tfrac13, B = -tfrac13, C = tfrac13
Passo 3
Assim
xx^3-1 = 1/3x-1 + -tfrac13 x + tfrac13x^2+x+1
Logo
Ib = 13integral dxx-1 ;+;integral -tfrac13 x + tfrac13x^2+x+1,dx
No segundo termo, reescrevemos o numerador para separar em derivada do denominador mais constante:
-tfrac13 x + tfrac13 = -tfrac16(2x+1) + tfrac12
Então
integral -tfrac13 x + tfrac13x^2+x+1,dx = -tfrac16integral 2x+1x^2+x+1,dx + tfrac12integral dxx^2+x+1