Exercício 2.3.3. Mostre que:
Ib=integral xx^3-1 d x=13 ln |x-1|-16 ln |x^2+x+1|+raiz33 arctg(2 x+1raiz3)+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ib ;=; integral xx^3-1,dx,
que envolve decomposição em frações parciais e depois integração de termos do tipo integral 1/(x-1),dx, integral (2x+1)/(x^2+x+1),dx e integral dx/(x^2+x+1). Vamos usar esses conteúdos para resolver.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
e escrevemos
x(x-1)(x^2+x+1) = Ax-1 + Bx + Cx^2+x+1
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+x+1), obtemos
x = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)
Expandindo e comparando coeficientes em x^2,x,1 dá o sistema
A + B = 0, A - B + C = 1, A - C = 0,
cuja solução é
A = tfrac13, B = -tfrac13, C = tfrac13

Passo 3

Assim
xx^3-1 = 1/3x-1 + -tfrac13 x + tfrac13x^2+x+1
Logo
Ib = 13integral dxx-1 ;+;integral -tfrac13 x + tfrac13x^2+x+1,dx
No segundo termo, reescrevemos o numerador para separar em derivada do denominador mais constante:
-tfrac13 x + tfrac13 = -tfrac16(2x+1) + tfrac12
Então
integral -tfrac13 x + tfrac13x^2+x+1,dx = -tfrac16integral 2x+1x^2+x+1,dx + tfrac12integral dxx^2+x+1

Passo 4

Agora basta integrar cada parte:
  1. 13integral dxx-1 = 13lnlvert x-1rvert
  2. -tfrac16integral 2x+1x^2+x+1,dx = -tfrac16lnl(x^2+x+1r)
  3. Para tfrac12integral dxx^2+x+1, completamos o quadrado:
x^2+x+1 = l(x+tfrac12r)^2 + tfrac34
Fazendo u = x+tfrac12, du=dx, temos
tfrac12integral duu^2 + (tfracraiz32)^2 = tfrac12cdot 2raiz3arctan!l(tfracuraiz3/2r) = 1raiz3arctan!l(tfrac2x+1raiz3r)
Juntando tudo e lembrando que tfrac1raiz3=tfracraiz33, obtemos a forma final.

Resposta

Ib = 13lnlvert x-1rvert - 16lnlvert x^2+x+1rvert + raiz33arctan!l(2x+1raiz3r) + C

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