Resolva as equações a seguir:
y^prime=x^2-2 x y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = x^2 - 2x,y,
que é uma EDO linear do tipo
y' + P(x),y = Q(x)
com P(x)=2x e Q(x)=x^2. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão:
y' + 2x,y = x^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 2x,dxr) = exp(x^2) = e^x^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=e^x^2, o lado esquerdo torna-se derivada exata:
ddxl(y,e^x^2r) = y',e^x^2 + 2x,y,e^x^2 = x^2,e^x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^x^2 = integral x^2,e^x^2,dx + C

Passo 6

Para calcular integral x^2,e^x^2,dx fazemos integração por partes: seja u=x e dv=x,e^x^2dx. Então
integral x^2,e^x^2,dx = x2,e^x^2 - 12integral e^x^2,dx
Como
integral e^x^2,dx = raizpi2,erfi(x),
segue
y,e^x^2 = x2,e^x^2 - 12,raizpi2,erfi(x) + C = x2,e^x^2 - raizpi4,erfi(x) + C

Passo 7

Isolando y e dividindo por e^x^2, obtemos
y(x) = x2 - raizpi4,e^-x^2,erfi(x) + C,e^-x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(x)=x2;-;raizpi4,e^-x^2,erfi(x);+;C,e^-x^2,
onde C é a constante arbitrária e erfi(x) é a função erro imaginária.

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