Exercício 2.3.3. Mostre que:
Ia=integral x^4+4 x^3+11 x^2+12 x+8(x^2+2 x+3)^2(x+1) d x=ln |x+1|+-x-22(x^2+2 x+3)-raiz24 arctg[raiz2(x+1)2]+ C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
Ia=integral x^4+4x^3+11x^2+12x+8(x^2+2x+3)^2,(x+1),dx
Usaremos decomposição em frações parciais, completaremos o quadrado em x^2+2x+3 e aplicaremos integrais-padrão de
integralu(u^2+a^2)^2du e integraldu(u^2+a^2)^2.

Passo 2

Procuramos constantes A,B,C,D,E tais que
x^4+4x^3+11x^2+12x+8(x+1)(x^2+2x+3)^2 =Ax+1+Bx+Cx^2+2x+3+Dx+E(x^2+2x+3)^2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2+2x+3)^2 e comparando coeficientes de x^4,x^3,dots, obtemos
A=1, B=0, C=0, D=1, E=-1
Logo
Ia =integral1x+1,dx +integralx-1(x^2+2x+3)^2,dx

Passo 3

A primeira integral é imediata:
integral1x+1,dx = lnlvert x+1rvert
Na segunda, fazemos a troca u=x+1. Então
x^2+2x+3 = u^2+2, x-1 = (u-1)-1 = u-2, dx = du,
e obtemos
integralx-1(x^2+2x+3)^2,dx =integralu-2(u^2+2)^2,du =integralu(u^2+2)^2,du -2integral1(u^2+2)^2,du

Passo 4

Usamos as fórmulas-padrão, com a=raiz2:
  1. integralu(u^2+a^2)^2du =,-12(u^2+a^2)+C.
  2. integraldu(u^2+a^2)^2 =u2a^2(u^2+a^2)+12a^3arctg!l(tfracuar)+C
Aplicando:
integralu(u^2+2)^2du = -12(u^2+2),
integraldu(u^2+2)^2 = u4(u^2+2)+14raiz2arctg!l(uraiz2r)
Portanto, chamando essa parte de J,
J = -12(u^2+2) -2l[u4(u^2+2)+14raiz2arctg!l(tfracuraiz2r)r] =-u+22(u^2+2) -12raiz2arctg!l(uraiz2r)
Voltando a x, u^2+2=x^2+2x+3 e u=x+1, então
J = -x+22(x^2+2x+3) -12raiz2arctg!l(x+1raiz2r)

Passo 5

Somando tudo e ajustando o coeficiente na função arco-tangente:
Ia =lnlvert x+1rvert -x+22(x^2+2x+3) -12raiz2arctg!l(x+1raiz2r) + C
Como 12raiz2=raiz24 e
x+1raiz2=raiz2(x+1)2, obtemos exatamente
Ia =lnlvert x+1rvert +-x-22(x^2+2x+3) -raiz24,arctg!l(raiz2(x+1)2r) + C

Resposta

Ia =lnl|x+1r| +-x-22l(x^2+2x+3r) -raiz24,arctg!l[tfracraiz2(x+1)2r] + C

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