Exercício 2.3.3. Mostre que:
C.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
Usaremos decomposição em frações parciais, completaremos o quadrado em
e aplicaremos integrais-padrão de
e
.
Passo 2
Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes de
, obtemos
Logo
Passo 3
A primeira integral é imediata:
Na segunda, fazemos a troca
. Então
e obtemos
Passo 4
Usamos as fórmulas-padrão, com
:
-
. -
Aplicando:
Portanto, chamando essa parte de
,
Voltando a
,
e
, então
Passo 5
Somando tudo e ajustando o coeficiente na função arco-tangente:
Como
e
, obtemos exatamente