Q 25 Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.
integral(e^2 x+2)^4 cdot e^2 x d x;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
integral (e^2x+2)^4,e^2x,dx
usando mudança de variável. O conteúdo aqui é a técnica de substituição para funções compostas.

Passo 2

Definimos
u = e^2x + 2
Diferenciando, obtemos
du = 2,e^2x,dx Longrightarrow e^2x,dx = du2

Passo 3

Substituindo em x por u, a integral vira
integral (e^2x+2)^4,e^2x,dx = integral u^4 cdot du2 = 12integral u^4,du

Passo 4

Integramos em u:
12integral u^4,du = 12cdotu^55 + C = u^510 + C
Voltando a x, fica a primitiva desejada.

Resposta

(e^2x+2)^510 + C

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