4- Um tanque em forma de um cone com vértice para baixo mede 12 m de altura e tem no topo um diâmetro de 12 m . Bombeia-se água à taxa de 4 m^3 / min. Ache a velocidade com que o nível da água sobe quando sua profundidade é:
a) 2 m
b) 8 m

Passo 1

O problema trata de um tanque em forma de cone invertido com altura 12 m e diâmetro no topo 12 m, no qual a água é bombeada à razão constante de tfracdVdt=4 m^3/min. Queremos encontrar a velocidade de subida do nível da água, ou seja tfracdhdt, quando a profundidade h vale 2 m e quando vale 8 m. O conteúdo usado será taxa relacionada, semelhança de triângulos e volume de um cone.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos entre o cone total e o “cone” formado pela água, temos
rh=612=tfrac12
logo
r=tfrac12,h
O volume da água em função de h é
V=13pi r^2h =13pil(tfrach2r)^2h =pi12,h^3

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
dVdt =pi12cdot 3h^2,dhdt =pi4,h^2,dhdt
Isolando tfracdhdt, vem
dhdt =tfracdVdttfracpi4h^2 =4tfracpi4h^2 =16pi,h^2

Passo 4

Para h=2 m,
dhdt =16pi,(2)^2 =164pi =4pi m/min

Passo 5

Para h=8 m,
dhdt =16pi,(8)^2 =1664pi =14pi m/min

Resposta

a) 4pi m/min
b) 14pi m/min

Exercícios relacionados