4- Um tanque em forma de um cone com vértice para baixo mede
de altura e tem no topo um diâmetro de 12 m . Bombeia-se água à taxa de
. Ache a velocidade com que o nível da água sobe quando sua profundidade é:
a)
b) 8 m
a)
b) 8 m
Passo 1
O problema trata de um tanque em forma de cone invertido com altura
m e diâmetro no topo
m, no qual a água é bombeada à razão constante de
/min. Queremos encontrar a velocidade de subida do nível da água, ou seja
, quando a profundidade
vale
m e quando vale
m. O conteúdo usado será taxa relacionada, semelhança de triângulos e volume de um cone.
Passo 2
Pela semelhança de triângulos entre o cone total e o “cone” formado pela água, temos
logo
O volume da água em função de
é
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação ao tempo
, obtemos
Isolando
, vem
Passo 4
Para
m,
Passo 5
Para
m,
Resposta
a)
m/min
b) m/min
b)