Exercício 3.8.1. Mostre que:
Passo 1
O enunciado quer calcular a integral imprópria
O conteúdo principal é reconhecimento de convergência de integrais impróprias e aplicação de substituição de variável para transformar numa integral de arco-tangente.
Passo 2
Verificamos rapidamente a convergência:
- Quando
, , logo integrável perto de zero. - Quando
, , que também é integrável no infinito.
Portanto a integral é convergente e podemos proceder.
Passo 3
Fazemos a substituição de variável
Com isso a integral vira
Passo 4
Sabemos que
Logo, voltando o fator
,