Exercício 3.8.1. Mostre que:
integral0^+infty x d xx^4+1=pi4

Passo 1

O enunciado quer calcular a integral imprópria
integral0^+inftyx,dxx^4+1
O conteúdo principal é reconhecimento de convergência de integrais impróprias e aplicação de substituição de variável para transformar numa integral de arco-tangente.

Passo 2

Verificamos rapidamente a convergência:
  • Quando xto0, tfracxx^4+1sim x, logo integrável perto de zero.
  • Quando xto+infty, tfracxx^4+1sim x^-3, que também é integrável no infinito.
    Portanto a integral é convergente e podemos proceder.

Passo 3

Fazemos a substituição de variável
u = x^2 Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Com isso a integral vira
integral0^+inftyx,dxx^4+1 = integral0^+inftytfracdu2u^2+1 = 12integral0^+inftyduu^2+1

Passo 4

Sabemos que
integral0^+inftyduu^2+1 =l[arctan(u)r]0^+infty =pi2-0 =pi2
Logo, voltando o fator 1/2,
12integral0^+inftyduu^2+1 =12cdotpi2 =pi4

Resposta

pi4

Exercícios relacionados