Exercício 3.6.2. Mostre que:
Id=integral1^2 x^3+2 x^2+x+2(x+1)^2 d x=116

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
Id=integral1^2x^3+2x^2+x+2(x+1)^2,dx
Esse é um caso de função racional em que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. Vamos usar divisão de polinômios para simplificar o integrando e depois aplicar integração termo a termo e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Fazendo a divisão de
x^3+2x^2+x+2
por
(x+1)^2=x^2+2x+1,
temos quociente x e resto 2. Ou seja,
x^3+2x^2+x+2(x+1)^2 = x + 2(x+1)^2

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Para x a antiderivada é tfracx^22. Para 2(x+1)^-2 usamos
integral 2(x+1)^-2,dx =2cdotl(-,(x+1)^-1r) =-2x+1
Logo uma primitiva comum é
F(x)=x^22-2x+1

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando de 1 a 2:
Id=F(2)-F(1) =l(2^22-23r) -l(1^22-22r) =l(2-tfrac23r)-l(tfrac12-1r)
Calculando,
2-tfrac23=tfrac43, tfrac12-1=-tfrac12,
então
Id=tfrac43-l(-tfrac12r) =tfrac43+tfrac12 =tfrac86+tfrac36 =tfrac116

Resposta

Id=116

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