Exercício 3.8.1. Mostre que:
integral1^+infty d xx(x+1)=ln (2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^+inftydxx(x+1)
e mostrar que ela vale ln(2). Vamos usar a técnica de frações parciais para integrar e, em seguida, tomar o limite no infinito.

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais, buscamos constantes A e B tais que
1x(x+1) = Ax + Bx+1
Multiplicando ambos os lados por x(x+1) vem
1 = A(x+1) + Bx = (A+B)x + A,
logo comparando coeficientes obtemos A+B=0 e A=1. Portanto A=1 e B=-1, isto é
1x(x+1) = 1x - 1x+1

Passo 3

Substituímos na integral imprópria e escrevemos como limite:
integral1^+inftydxx(x+1) = limbto+inftyintegral1^bl(1x-1x+1r),dx
Agora integraremos cada parcela:
integral1x,dx = ln(x), integral1x+1,dx = ln(x+1)

Passo 4

Então
integral1^bl(1x-1x+1r),dx = l[ln(x)-ln(x+1)r]1^b = l(ln(b)-ln(b+1)r) - l(ln(1)-ln(2)r)
Como ln(1)=0, isso é
ln!l(tfracbb+1r) + ln(2)
Tomando bto+infty, temos tfracbb+1to1 e ln!(1)=0.

Passo 5

Portanto
integral1^+inftydxx(x+1) = 0 + ln(2) = ln(2)

Resposta

ln(2)

Exercícios relacionados