Exercício 3.8.1. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
e mostrar que ela vale
. Vamos usar a técnica de frações parciais para integrar e, em seguida, tomar o limite no infinito.
Passo 2
Fazendo a decomposição em frações parciais, buscamos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
vem
logo comparando coeficientes obtemos
e
. Portanto
e
, isto é
Passo 3
Substituímos na integral imprópria e escrevemos como limite:
Agora integraremos cada parcela:
Passo 4
Então
Como
, isso é
Tomando
, temos
e
.
Passo 5
Portanto