Exercício 3.8.1. Mostre que:
integral0^1 e^x d xraize^x-1=2 raize-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 e^xraize^x-1,dx
O conteúdo principal aqui é reconhecer que a função e^x,dx aparece no numerador e que dentro da raiz temos e^x-1, o que sugere uma substituição do tipo u = e^x-1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x-1,
então
du = e^x,dx
Quando x=0, temos u = e^0-1 = 0. Quando x=1, temos u = e^1-1 = e-1.

Passo 3

Em termos de u, a integral transforma-se em
integral0^1 e^xraize^x-1,dx = integralu=0^u=e-1 1raizu,du = integral0^e-1 u^-tfrac12,du
Sabemos pela regra de potência que
integral u^-tfrac12,du = 2,u^tfrac12 + C

Passo 4

Avaliaremos o resultado de 2,u^tfrac12 de u=0 até u=e-1:
2,u^tfrac12|0^e-1 = 2raize-1 - 2raiz0 = 2raize-1

Resposta

2raize-1

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