Exemplo 2.1. Consideremos a EDO
, em que
. Aqui,
e
. Inicialmente, obtemos a solução constante:
Logo, a única solução constante é
.
Agora, vamos em busca das soluções não-constantes. Se
, segue de
que
e, assim,
, ou seja,
. Desse modo,
, o que nos fornece
, em que
é uma constante real, como a solução geral da EDO
.
Note que a solução constante
não pode ser obtida a partir da solução geral. Logo, neste caso, a solução constante é uma solução singular da EDO dada.
Agora, vamos em busca das soluções não-constantes. Se
Passo 1
O enunciado dá a EDO
onde
. Ele já identifica
e
. As perguntas implícitas são:
- Quais são as soluções constantes da EDO?
- Qual é a solução geral (não-constante) da EDO?
As informações relevantes fornecidas: a equação é do tipo produto(ou seja, separável), e .
Passo 2
Procurando soluções constantes: uma solução constante é uma função
com derivada
para todo
. Substituindo na EDO obtemos
Para essa igualdade ser verdadeira para todo
devemos ter
. Logo,
Portanto a única solução constante é
Explicação didática breve: procurar soluções constantes é sempre o primeiro passo porque muitas EDOs do tipo
podem ter raízes de
que geram soluções simples
constante.
Passo 3
Agora buscamos soluções não-constantes. Se
não é identicamente zero, podemos assumir valores de
diferentes de zero em um intervalo e dividir por
. Partimos da EDO:
Escrevemos
e dividimos por
(válido quando
):
A ideia de separação de variáveis é exatamente essa: rearranjar para termos com
do lado esquerdo e termos com
do lado direito, obtendo uma forma integrável:
Didaticamente: separação de variáveis significa escrever a EDO como
e então integrar ambos os lados. Só podemos fazer isso quando não anulamos fatores que poderiam corresponder a soluções perdidas (aqui já tratamos
antes).
Passo 4
Integramos ambos os lados. Primeiro reescrever
. Então
Calcule as integrais separadamente. Para o lado esquerdo usamos a regra da integral de potência:
para
. Aqui
, portanto
Para o lado direito,
.
Juntando (e combinando constantes de integração em uma só constante ):
Juntando (e combinando constantes de integração em uma só constante
Passo 5
Resolva para
. Podemos multiplicar por
:
Chamando a constante
por um novo parâmetro
(é só renomear), obtemos
Invertendo:
onde
é constante real determinada pela condição inicial. Observação importante sobre domínio: para que
seja bem definida precisamos ter
; portanto cada valor de
determina o(s) intervalo(s) em
onde a solução está definida (se
, o denominador nunca é zero e a solução vale para todo
; se
, há pontos onde o denominador pode ser zero e a solução não é definida nesses pontos).
Passo 6
Verificação direta (sempre faça na prova pra ganhar confiança): derive
. Usando a regra da cadeia:
Como
, obtemos
ou seja, a família
satisfaz a EDO. Bom sinal.
Passo 7
Comentário sobre a solução constante
e por que ela é chamada de solução singular: ao dividir por
na separação perdemos a possibilidade de pegar
a partir da família
— não existe
que faça
. Por isso
é uma solução separada (singular) da EDO. Na prática de prova: sempre cheque soluções constantes antes de separar variáveis; pode acontecer de a solução constante não ocorrer na família obtida pela separação porque dividimos por algo que pode ser zero.
Passo 8
Como relacionar com condição inicial (dica prática para prova): se o problema der uma condição
com
, então a constante
é encontrada por
Se
, a única solução que passa pelo ponto é
.