Exemplo 2.1. Consideremos a EDO y^{\prime}=-4 x y^{2}, em que y=y(x). Aqui, g(x)=-4 x e h(y)=y^{2}. Inicialmente, obtemos a solução constante:
h(y)=0 \Leftrightarrow y^{2}=0 \Leftrightarrow y=0
Logo, a única solução constante é y(x)=0.
Agora, vamos em busca das soluções não-constantes. Se y \neq 0, segue de y^{\prime}=-4 x y^{2} que \frac{1}{y^{2}} y^{\prime}(x)=-4 x e, assim, \int \frac{1}{y^{2}} y^{\prime}(x) d x=\int-4 x d x, ou seja, \int \frac{1}{y^{2}} d y=\int-4 x d x. Desse modo, -\frac{1}{y}=-2 x^{2}-k, o que nos fornece y= \frac{1}{2 x^{2}+k}, em que k é uma constante real, como a solução geral da EDO y^{\prime}=-4 x y^{2}.
Note que a solução constante y(x)=0 não pode ser obtida a partir da solução geral. Logo, neste caso, a solução constante é uma solução singular da EDO dada.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y' = -4 x y^{2},
onde y=y(x). Ele já identifica g(x)=-4x e h(y)=y^{2}. As perguntas implícitas são:
  • Quais são as soluções constantes da EDO?
  • Qual é a solução geral (não-constante) da EDO?
    As informações relevantes fornecidas: a equação é do tipo produto g(x)\,h(y) (ou seja, separável), e h(y)=y^{2}.

Passo 2

Procurando soluções constantes: uma solução constante é uma função y(x)\equiv C com derivada y'(x)=0 para todo x. Substituindo na EDO obtemos
0 = -4 x C^{2}.
Para essa igualdade ser verdadeira para todo x devemos ter C^{2}=0. Logo,
C=0.
Portanto a única solução constante é
y(x)\equiv 0.
Explicação didática breve: procurar soluções constantes é sempre o primeiro passo porque muitas EDOs do tipo y'=g(x)h(y) podem ter raízes de h(y) que geram soluções simples y= constante.

Passo 3

Agora buscamos soluções não-constantes. Se y não é identicamente zero, podemos assumir valores de y diferentes de zero em um intervalo e dividir por y^{2}. Partimos da EDO:
y' = -4 x y^{2}.
Escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx} e dividimos por y^{2} (válido quando y\neq 0):
\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx} = -4x.
A ideia de separação de variáveis é exatamente essa: rearranjar para termos com y do lado esquerdo e termos com x do lado direito, obtendo uma forma integrável:
\frac{1}{y^{2}}\,dy = -4x\,dx.
Didaticamente: separação de variáveis significa escrever a EDO como A(y)\,dy = B(x)\,dx e então integrar ambos os lados. Só podemos fazer isso quando não anulamos fatores que poderiam corresponder a soluções perdidas (aqui já tratamos y=0 antes).

Passo 4

Integramos ambos os lados. Primeiro reescrever \dfrac{1}{y^{2}}=y^{-2}. Então
\int y^{-2}\,dy = \int -4x\,dx.
Calcule as integrais separadamente. Para o lado esquerdo usamos a regra da integral de potência: \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui n=-2, portanto
\int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{y}+C.
Para o lado direito, \int -4x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = -2x^{2}+C.
Juntando (e combinando constantes de integração em uma só constante C):
-\frac{1}{y} = -2x^{2} + C.

Passo 5

Resolva para y. Podemos multiplicar por -1:
\frac{1}{y} = 2x^{2} - C.
Chamando a constante -C por um novo parâmetro k\in\mathbb{R} (é só renomear), obtemos
\frac{1}{y} = 2x^{2} + k.
Invertendo:
y(x) = \frac{1}{2x^{2} + k},
onde k é constante real determinada pela condição inicial. Observação importante sobre domínio: para que y(x) seja bem definida precisamos ter 2x^{2}+k\neq 0; portanto cada valor de k determina o(s) intervalo(s) em x onde a solução está definida (se k>0, o denominador nunca é zero e a solução vale para todo x; se k\le 0, há pontos onde o denominador pode ser zero e a solução não é definida nesses pontos).

Passo 6

Verificação direta (sempre faça na prova pra ganhar confiança): derive y(x)=(2x^{2}+k)^{-1}. Usando a regra da cadeia:
y'(x) = -1\cdot(2x^{2}+k)^{-2}\cdot(4x) = -4x\,(2x^{2}+k)^{-2}.
Como y^{2}=(2x^{2}+k)^{-2}, obtemos
y' = -4x\,y^{2},
ou seja, a família y(x)=\dfrac{1}{2x^{2}+k} satisfaz a EDO. Bom sinal.

Passo 7

Comentário sobre a solução constante y\equiv 0 e por que ela é chamada de solução singular: ao dividir por y^{2} na separação perdemos a possibilidade de pegar y=0 a partir da família y=1/(2x^{2}+k) — não existe k\in\mathbb{R} que faça 1/(2x^{2}+k)\equiv 0. Por isso y\equiv 0 é uma solução separada (singular) da EDO. Na prática de prova: sempre cheque soluções constantes antes de separar variáveis; pode acontecer de a solução constante não ocorrer na família obtida pela separação porque dividimos por algo que pode ser zero.

Passo 8

Como relacionar com condição inicial (dica prática para prova): se o problema der uma condição y(x_{0})=y_{0} com y_{0}\neq 0, então a constante k é encontrada por
\frac{1}{y_{0}} = 2x_{0}^{2} + k \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{y_{0}} - 2x_{0}^{2}.
Se y_{0}=0, a única solução que passa pelo ponto é y\equiv 0.

Resposta

y(x)\equiv 0\n y(x)=\dfrac{1}{2x^{2}+k},\\ k\in\mathbb{R} (definida onde 2x^{2}+k\neq 0)

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