Exercício 2.

(a) Mostre que a mudança de variáveis t=e^x transforma a equação de Cauchy-Euler t^2 d^2 yd t^2+ a t d yd t+b y=0 em uma equação linear de coeficientes constantes. Sugestão: Comece notando que d yd t=d yd x d xd t=d yd x 1t.
(b) Use o anterior e os conhecimentos que temos acerca das equações lineares de coeficientes constantes para formular uma versão do método dos coeficientes a deteminar aplicado à equação
t^2 y^prime prime+a t y^prime+b y=A t^c
(c) Aplique o item (b) acima para resolver a equação 2 t^2 y^prime prime-2 t y^prime+3 y=4 t^43.

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) mostrar que, sob t=e^x, a equação de Cauchy–Euler
t^2 d^2 yd t^2 + a,t d yd t + b,y = 0
vira uma equação linear de coeficientes constantes em x.
  • (b) usar isso para formular o método de coeficientes indeterminados na versão de Cauchy–Euler para
t^2 y'' + a,t,y' + b,y = A,t^c
  • (c) aplicar ao caso
2,t^2 y'' - 2,t,y' + 3,y = 4,t^4/3
Vamos usar a transformação t=e^x e o método clássico de ODEs de coeficientes constantes.

Passo 2

Com t=e^x temos
dd t = 1tdd x,
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d^2 yd t^2 = dd t!l(tfrac1ty'r) = 1tdd x!l(tfrac1ty'r) = 1tl(-tfrac1ty' + tfrac1ty''r) = y'' - y't^2
Substituindo em
t^2d^2ydt^2 + a,t,dydt + b,y = 0
obtemos
t^2y''-y't^2 + a,t1ty' + b,y = 0 ;Longrightarrow; y'' - y' + a,y' + b,y = 0 ;Longrightarrow; y'' + (a-1)y' + b,y = 0,
que é uma ODE de coeficientes constantes em x.

Passo 3

Para a não homogênea
t^2 y'' + a,t,y' + b,y = A,t^c
fazemos t=e^x e reescrevemos como
y'' + (a-1)y' + b,y = A,e^c x
O polinômio característico da homogênea é
r^2 + (a-1)r + b = 0,
com raízes r1,r2 e solução geral
yh(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Para a parte particular propomos
yp(x) = K e^c x
Substituindo na ODE:
Kl(c^2 + (a-1)c + br)e^c x = A,e^c x Longrightarrow K = Ac^2 + (a-1)c + b,
desde que cneq r1,r2. Em caso de coincidência multiplica-se por x. Voltando a t ( x=ln t),
boxed y(t) = C1 t^r1 + C2 t^r2 + Ac^2 + (a-1)c + b;t^c

Passo 4

No caso específico
2,t^2 y'' - 2,t,y' + 3,y = 4,t^4/3,
dividimos por 2 para ficar no formato padrão, obtendo a=-1, b=tfrac32, A=2, c=tfrac43.
O polinômio característico é
r^2+(a-1)r+b = r^2 -2r + tfrac32 = 0 Longrightarrow r = 1 pm iraiz2,
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yh(t) = tl(C1cos!l(tfrac1raiz2ln tr) +C2sin!l(tfrac1raiz2ln tr)r)
Para a parte particular yp(t)=K,t^4/3, substituímos direto na equação original e achamos
K,t^4/3l[2c(c-1)-2c+3r] = 4,t^4/3,
com c=tfrac43 isto dá 2(tfrac43)^2 -4(tfrac43)+3 = tfrac119,
então
K = 4tfrac119 = 3611

Resposta

A solução geral da equação
2,t^2 y'' - 2,t,y' +3,y = 4,t^4/3
é
boxed y(t) = tl(C1cos!l(tfrac1raiz2ln tr) + C2sin!l(tfrac1raiz2ln tr)r) + 3611,t^4/3

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