Exercício 2.
(a) Mostre que a mudança de variáveis
transforma a equação de Cauchy-Euler
em uma equação linear de coeficientes constantes. Sugestão: Comece notando que
.
(b) Use o anterior e os conhecimentos que temos acerca das equações lineares de coeficientes constantes para formular uma versão do método dos coeficientes a deteminar aplicado à equação
(c) Aplique o item (b) acima para resolver a equação
.
(b) Use o anterior e os conhecimentos que temos acerca das equações lineares de coeficientes constantes para formular uma versão do método dos coeficientes a deteminar aplicado à equação
Passo 1
O enunciado pede:
- (a) mostrar que, sob
, a equação de Cauchy–Euler
vira uma equação linear de coeficientes constantes em
.
- (b) usar isso para formular o método de coeficientes indeterminados na versão de Cauchy–Euler para
- (c) aplicar ao caso
Vamos usar a transformação
e o método clássico de ODEs de coeficientes constantes.
Passo 2
Com
temos
logo
Substituindo em
obtemos
que é uma ODE de coeficientes constantes em
.
Passo 3
Para a não homogênea
fazemos
e reescrevemos como
O polinômio característico da homogênea é
com raízes
e solução geral
Para a parte particular propomos
Substituindo na ODE:
desde que
. Em caso de coincidência multiplica-se por
. Voltando a
(
),
Passo 4
No caso específico
dividimos por
para ficar no formato padrão, obtendo
,
,
,
.
O polinômio característico é
O polinômio característico é
logo
Para a parte particular
, substituímos direto na equação original e achamos
com
isto dá
,
então
então
Resposta
A solução geral da equação
é