Exercício 4.4.3. Mostre que não existe os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{(x-1)(y-2)}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{(x-1)(y-2)}{(x-1)^2+(y-2)^2}
não existe. Vamos usar o conceito de limite em duas variáveis e a técnica de comparar aproximações por trajetórias diferentes.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
\,u = x-1 e \,v = y-2,
de modo que (x,y)\to(1,2) equivale a (u,v)\to(0,0). A função torna-se
g(u,v) = \frac{uv}{u^2+v^2}
e basta mostrar que \lim_{(u,v)\to(0,0)}g(u,v) não é único ao escolher trajetórias distintas.

Passo 3

Considere a trajetória v=0. Então
g(u,0) = \frac{u\cdot0}{u^2+0^2} = 0
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\displaystyle \lim_{u\to0}g(u,0) = 0.

Passo 4

Considere agora a trajetória v = u. Então
g(u,u) = \frac{u\cdot u}{u^2+u^2} = \frac{u^2}{2u^2} = \frac12
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\displaystyle \lim_{u\to0}g(u,u) = \frac12.

Passo 5

As aproximações pelas trajetórias v=0 e v=u fornecem limites diferentes (0 e \tfrac12). Portanto, o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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