Exercício 4.5.1. Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x y \operatorname{sen}^{-1}(x y)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\,y\,\sin^{-1}(x y)
e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, sabendo que
\frac{d}{du}\sin^{-1}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.

Passo 2

Para cada derivada parcial, trataremos uma variável como constante e aplicaremos:
  1. regra do produto em u(x,y)\,v(x,y), com \frac{\partial}{\partial x}(uv)=u_x\,v+u\,v_x, e analogamente para \partial/\partial y;
  2. regra da cadeia para v(x,y)=\sin^{-1}(x y), onde \frac{\partial}{\partial x}\sin^{-1}(xy) =\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\;\frac{\partial}{\partial x}(xy),e similar para \partial/\partial y.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
Aqui u(x,y)=x y e v(x,y)=\sin^{-1}(xy). Então
\frac{\partial u}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial v}{\partial x} =\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\;\frac{\partial}{\partial x}(xy) =\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}}.
Aplicando a regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial x} =y\,\sin^{-1}(xy) +xy\cdot\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}} =y\,\sin^{-1}(xy) +\frac{x\,y^2}{\sqrt{1-(xy)^2}}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
Agora u(x,y)=x y e v(x,y)=\sin^{-1}(xy). Temos
\frac{\partial u}{\partial y}=x, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} =\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\;\frac{\partial}{\partial y}(xy) =\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}}.
Pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial y} =x\,\sin^{-1}(xy) +xy\cdot\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}} =x\,\sin^{-1}(xy) +\frac{x^2\,y}{\sqrt{1-(xy)^2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =y\,\sin^{-1}(xy) +\frac{x\,y^2}{\sqrt{1-(xy)^2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =x\,\sin^{-1}(xy) +\frac{x^2\,y}{\sqrt{1-(xy)^2}}.

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