Exercício 4.4.3. Mostre que não existe os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe. Vamos usar o conceito de limite em duas variáveis e a técnica de comparar aproximações por trajetórias diferentes.
não existe. Vamos usar o conceito de limite em duas variáveis e a técnica de comparar aproximações por trajetórias diferentes.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
e
,
de modo que equivale a
. A função torna-se
de modo que
e basta mostrar que
não é único ao escolher trajetórias distintas.
Passo 3
Considere a trajetória
. Então
logo
.
Passo 4
Considere agora a trajetória
. Então
logo
.
Passo 5
As aproximações pelas trajetórias
e
fornecem limites diferentes (0 e
). Portanto, o limite original não existe.
Resposta
O limite não existe.