Exercício 1. Mostre que:
A operação soma/adição em N é associativa.

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra gente mostrar que a soma nos números naturais ( N) é associativa. Isso quer dizer que, quando somamos três números naturais, a maneira como a gente agrupa eles não muda o resultado. Vamos precisar entender o que é associatividade e como funciona a soma nos naturais pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que significa uma operação ser associativa. Dizemos que a soma é associativa se, para quaisquer números naturais a, b e c, a seguinte igualdade for verdadeira:
(a + b) + c = a + (b + c)
Isso quer dizer que dá pra somar a e b primeiro e depois adicionar c, ou somar b e c primeiro e depois adicionar a, e o resultado vai ser o mesmo.

Passo 3

Agora, vamos testar essa propriedade com números quaisquer. Vamos calcular ambos os lados da igualdade usando a, b e c como números naturais.
Primeiro, calculamos (a + b) + c:
(a + b) + c = a + b + c
Depois, calculamos a + (b + c):
a + (b + c) = a + b + c

Passo 4

Observamos que, em ambos os casos, o resultado final é a + b + c. Não importa como a gente agrupe os números na soma, o resultado sempre será o mesmo. Isso confirma que a soma é associativa nos números naturais.

Resposta

A soma em N é associativa porque, para quaisquer a, b, c in N, temos (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c.

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