Exercício 1. Mostre que:
A operação soma/adição em
é associativa.
A operação soma/adição em
Passo 1
Beleza! O exercício pede pra gente mostrar que a soma nos números naturais (
) é associativa. Isso quer dizer que, quando somamos três números naturais, a maneira como a gente agrupa eles não muda o resultado. Vamos precisar entender o que é associatividade e como funciona a soma nos naturais pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que significa uma operação ser associativa. Dizemos que a soma é associativa se, para quaisquer números naturais
,
e
, a seguinte igualdade for verdadeira:
Isso quer dizer que dá pra somar
e
primeiro e depois adicionar
, ou somar
e
primeiro e depois adicionar
, e o resultado vai ser o mesmo.
Passo 3
Agora, vamos testar essa propriedade com números quaisquer. Vamos calcular ambos os lados da igualdade usando
,
e
como números naturais.
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Passo 4
Observamos que, em ambos os casos, o resultado final é
. Não importa como a gente agrupe os números na soma, o resultado sempre será o mesmo. Isso confirma que a soma é associativa nos números naturais.
Resposta
A soma em
é associativa porque, para quaisquer
,
,
, temos
.