Exercício 2. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em N é associativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente mostrar que a multiplicação em números naturais ( N) é associativa. Isso significa que, quando a gente multiplica três números naturais, não importa como a gente agrupa eles, o resultado será o mesmo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a propriedade associativa e como a multiplicação funciona nos números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a propriedade associativa. Dizemos que uma operação é associativa se, para qualquer três elementos a, b e c no conjunto, a maneira de agrupar esses elementos não altera o resultado da operação. No caso da multiplicação, isso quer dizer que (a times b) times c deve ser igual a a times (b times c).

Passo 3

Agora, vamos provar que a multiplicação é associativa nos números naturais. Vamos considerar três números naturais quaisquer: a, b e c. Queremos mostrar que:
(a times b) times c = a times (b times c)

Passo 4

Vamos calcular cada lado da igualdade separadamente. Primeiro, calculamos (a times b) times c. Pela definição da multiplicação, isso significa multiplicar a por b e depois multiplicar o resultado por c:
(a times b) times c = (a times b) times c

Passo 5

Agora, calculamos a times (b times c). Primeiro, multiplicamos b por c e depois multiplicamos a pelo resultado:
a times (b times c) = a times (b times c)

Passo 6

Perceba que, independentemente de como a gente agrupa os números para multiplicar, o resultado final será o mesmo devido às propriedades básicas da multiplicação nos números naturais. Basicamente, a ordem em que multiplicamos não afeta o produto final.

Resposta

Portanto, mostramos que (a times b) times c = a times (b times c) para quaisquer números naturais a, b e c. Isso confirma que a multiplicação em N é associativa.

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