Exercício 2. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em
é associativa.
A operação produto/multiplicação em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente mostrar que a multiplicação em números naturais (
) é associativa. Isso significa que, quando a gente multiplica três números naturais, não importa como a gente agrupa eles, o resultado será o mesmo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a propriedade associativa e como a multiplicação funciona nos números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a propriedade associativa. Dizemos que uma operação é associativa se, para qualquer três elementos
,
e
no conjunto, a maneira de agrupar esses elementos não altera o resultado da operação. No caso da multiplicação, isso quer dizer que
deve ser igual a
.
Passo 3
Agora, vamos provar que a multiplicação é associativa nos números naturais. Vamos considerar três números naturais quaisquer:
,
e
. Queremos mostrar que:
Passo 4
Vamos calcular cada lado da igualdade separadamente. Primeiro, calculamos
. Pela definição da multiplicação, isso significa multiplicar
por
e depois multiplicar o resultado por
:
Passo 5
Agora, calculamos
. Primeiro, multiplicamos
por
e depois multiplicamos
pelo resultado:
Passo 6
Perceba que, independentemente de como a gente agrupa os números para multiplicar, o resultado final será o mesmo devido às propriedades básicas da multiplicação nos números naturais. Basicamente, a ordem em que multiplicamos não afeta o produto final.
Resposta
Portanto, mostramos que
para quaisquer números naturais
,
e
. Isso confirma que a multiplicação em
é associativa.