Exercício 8. Mostre que
é localmente integrável em
ao mostrar que
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é localmente integrável em calculando
é localmente integrável em
onde
é a bola de raio
centrada na origem.
Vamos usar coordenadas esféricas em e a relação entre o volume da bola unitária
e a área da esfera unitária
.
Vamos usar coordenadas esféricas em
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
com
e
. O elemento de volume é
onde
é o elemento de área em
.
Passo 3
Substituindo
e o jacobiano, o integral fica
Passo 4
Calculamos o integral radial:
Passo 5
O integral sobre a esfera unitária é exatamente a área de
, que chamamos de
. Sabe-se que
onde
é o volume da bola unitária em
. Assim