Exercício 8. Mostre que u(x):=|x|^2-d é localmente integrável em R^d ao mostrar que
integralBr 1|x|^d-2 d x=d omegad r^22
onde Br:=Br(0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
u(x)=|x|^2-d
é localmente integrável em R^d calculando
integralBr(0)1|x|^,d-2,dx
onde Br(0) é a bola de raio r centrada na origem.
Vamos usar coordenadas esféricas em R^d e a relação entre o volume da bola unitária omegad e a área da esfera unitária S^d-1.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos x=(rho,theta) com rho=|x|in[0,r] e thetain S^d-1. O elemento de volume é
dx ;=;rho^,d-1,drho;dS(theta),
onde dS(theta) é o elemento de área em S^d-1.

Passo 3

Substituindo |x|^2-d=rho^2-d e o jacobiano, o integral fica
integralBr1|x|^,d-2,dx =integral0^rintegralS^d-1rho^2-d,rho^,d-1,dS(theta),drho =integralS^d-1dS(theta);integral0^rrho^1,drho

Passo 4

Calculamos o integral radial:
integral0^rrho^1,drho =[rho^22]0^r =r^22

Passo 5

O integral sobre a esfera unitária é exatamente a área de S^d-1, que chamamos de lvert S^d-1rvert. Sabe-se que
lvert S^d-1rvert =d,omegad,
onde omegad é o volume da bola unitária em R^d. Assim
integralS^d-1dS(theta) =lvert S^d-1rvert =d,omegad

Resposta

integralBr(0)1|x|^,d-2,dx =l(d,omegadr),r^22 =d,omegad,r^22

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