Exercício 2.5. Mostre que o problema de Neumann
ut=K ux x & se 0<x<L e t>0, ux(0, t)=0 & se t >= 0, ux(L, t)=varepsilon & se t >= 0, u(x, 0)=f(x) & se 0 <= x <= L,
onde varepsilon é uma constante positiva, não possui uma solução limitada em [0, L] times[0,+infty) (em outras palavras, este problema não possui uma solução de estado estacionário).

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional com coeficiente térmico K>0 em [0,L], sujeita às condições de Neumann
ux(0,t)=0, ux(L,t)=varepsilon>0,
e condição inicial u(x,0)=f(x). Precisamos mostrar que não existe solução limitada para todo t>=0, isto é, não há estado estacionário.

Passo 2

Para haver estado estacionário, deveríamos ter ut=0 e portanto
K,uxx=0 Longrightarrow uxx=0
Integrando duas vezes em x
u(x)=A,x+B
para constantes A,B. A condição ux(0,t)=0 implica A=0, mas ux(L,t)=A deveria valer varepsilon. Como varepsilonneq0, não há escolha de A que satisfaça ambas as condições. Logo não existe solução estacionária.

Passo 3

Para ver que nenhuma solução acalmará e permanecerá limitada, integramos a equação do calor em x de 0 a L:
ddtintegral0^Lu(x,t),dx = integral0^Lut,dx = Kintegral0^Luxx,dx = Kl[ux(L,t)-ux(0,t)r] = K,varepsilon
Isso mostra que
integral0^Lu(x,t),dx = integral0^Lf(x),dx + K,varepsilon,t,
que cresce linearmente em t. Portanto a média de u diverge e não se mantém limitada.

Passo 4

Se a média de u cresce sem limite, então o máximo de u também cresce sem limite para atender à integral crescente. Logo não há nenhuma solução u(x,t) que fique limitada em [0,L]times[0,infty).

Resposta

Não existe solução limitada nem estado estacionário para o problema de Neumann dado.

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