onde varepsilon é uma constante positiva, não possui uma solução limitada em [0, L] times[0,+infty) (em outras palavras, este problema não possui uma solução de estado estacionário).
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor unidimensional com coeficiente térmico K>0 em [0,L], sujeita às condições de Neumann
ux(0,t)=0, ux(L,t)=varepsilon>0,
e condição inicial u(x,0)=f(x). Precisamos mostrar que não existe solução limitada para todo t>=0, isto é, não há estado estacionário.
Passo 2
Para haver estado estacionário, deveríamos ter ut=0 e portanto
K,uxx=0 Longrightarrow uxx=0
Integrando duas vezes em x dá
u(x)=A,x+B
para constantes A,B. A condição ux(0,t)=0 implica A=0, mas ux(L,t)=A deveria valer varepsilon. Como varepsilonneq0, não há escolha de A que satisfaça ambas as condições. Logo não existe solução estacionária.
Passo 3
Para ver que nenhuma solução acalmará e permanecerá limitada, integramos a equação do calor em x de 0 a L:
que cresce linearmente em t. Portanto a média de u diverge e não se mantém limitada.
Passo 4
Se a média de u cresce sem limite, então o máximo de u também cresce sem limite para atender à integral crescente. Logo não há nenhuma solução u(x,t) que fique limitada em [0,L]times[0,infty).
Resposta
Não existe solução limitada nem estado estacionário para o problema de Neumann dado.