Calcule os limites das seguintes funções ou mostre que esse limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+4-2

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=x^2+y^2raizx^2+y^2+4-2
quando (x,y)to(0,0). Isso é um limite de função de duas variáveis; ao substituir diretamente, temos forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar uma manipulação algébrica (racionalização) e depois observar o comportamento quando (x,y)to(0,0).

Passo 2

Para eliminar a indeterminação 0/0, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, isto é,
raizx^2+y^2+4+2

Passo 3

Fazendo essa multiplicação, obtemos
x^2+y^2raizx^2+y^2+4-2,cdot,raizx^2+y^2+4+2raizx^2+y^2+4+2 =(x^2+y^2)l(raizx^2+y^2+4+2r)l(raizx^2+y^2+4r)^2-2^2

Passo 4

No denominador temos
l(raizx^2+y^2+4r)^2-2^2=x^2+y^2+4-4=x^2+y^2,
que cancela com o fator x^2+y^2 do numerador. Logo a expressão simplifica para
raizx^2+y^2+4+2

Passo 5

Agora basta avaliar o comportamento quando (x,y)to(0,0). Como x^2+y^2to0, temos
raizx^2+y^2+4toraiz4=2,
e portanto
raizx^2+y^2+4+2to 2+2=4

Resposta

O limite existe e vale 4.

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