Exercício 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados;
\left\{x \in \mathbb{R} ; x^{2} \geq 1\right\};

Passo 1

Enunciado: verificar quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados. O conjunto dado é \{x\in\mathbb{R};\;x^{2}\geq 1\}.
Informações fornecidas: a descrição do conjunto por desigualdade \;x^{2}\geq 1.
Pergunta que o enunciado faz: determinar se esse conjunto é aberto, fechado, ambos ou nenhum.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever o conjunto numa forma mais intuitiva. A desigualdade \;x^{2}\geq 1 é equivalente a \;|x|\geq 1. Isso porque \;x^{2}=(|x|)^{2} e a condição de ser maior ou igual a 1 transforma-se em valor absoluto maior ou igual a 1. A partir de \;|x|\geq 1 obtemos
\{x\in\mathbb{R};\;x^{2}\geq 1\}=\{x\in\mathbb{R};\;|x|\geq 1\}=\{x\in\mathbb{R};\;x\leq -1\\ \text{ou}\\ x\geq 1\}.
Portanto podemos escrever o conjunto como a união de dois intervalos:
S = (-\infty,-1]\\ \cup\\ [1,\infty).

Passo 3

Uma maneira padrão de testar se um conjunto é fechado é olhar para o seu complemento e ver se este é aberto. Vamos calcular o complemento de S em \mathbb{R}:
\mathbb{R}\setminus S=\{x\in\mathbb{R};\;x^{2}<1\}=\{x\in\mathbb{R};\;|x|<1\}=(-1,1).
Então \mathbb{R}\setminus S=(-1,1).

Passo 4

Agora mostramos explicitamente que (-1,1) é aberto (usar definição \varepsilon-vizinhança). Tome um ponto arbitrário y\in(-1,1). Defina
\varepsilon = 1-|y|>0.
Se z é qualquer ponto em (y-\varepsilon,y+\varepsilon), então por desigualdade triangular temos
|z| \le |z-y|+|y| < \varepsilon + |y| = (1-|y|)+|y| = 1.
Logo z\in(-1,1). Isso mostra que existe uma bola aberta centrada em y que fica inteiramente em (-1,1). Como y foi arbitrário, (-1,1) é aberto.

Passo 5

Como \mathbb{R}\setminus S=(-1,1) é aberto, pela definição de conjunto fechado (um conjunto é fechado se o seu complemento é aberto) concluímos que S é fechado. (Guarde essa conclusão; a demonstração direta por complemento já é suficiente.)

Passo 6

Agora vamos mostrar que S não é aberto. Para que S fosse aberto, todo ponto de S deveria ter uma vizinhança aberta contida em S. Considere o ponto 1\in S. Tome qualquer \varepsilon>0 e olhe a vizinhança (1-\varepsilon,1+\varepsilon). Escolha x=1-\dfrac{\varepsilon}{2}. Então x\in(1-\varepsilon,1+\varepsilon), mas |x|=1-\dfrac{\varepsilon}{2}<1, portanto x\notin S. Isso mostra que nenhuma bola centrada em 1 fica inteira dentro de S. Assim 1 não é um ponto interior de S. Pelo mesmo raciocínio -1 também não é ponto interior. Portanto S não é aberto.

Passo 7

Mostro rapidamente uma verificação alternativa (sequencial) para reforçar a ideia de fechado: seja (x_{n}) uma sequência em S que converge para um limite L. Como |x_{n}|\ge 1 para todo n, se por absurdo |L|<1 então escolha \delta=1-|L|>0; para n grande teríamos |x_{n}-L|<\delta e assim |x_{n}|\le |x_{n}-L|+|L|<\delta+|L|=1, contradizendo |x_{n}|\ge 1. Logo |L|\ge 1 e L\in S. Assim S contém os limites de todas as sequências convergentes que lhe pertencem, outra forma de ver que S é fechado.

Resposta

Fechado; não é aberto.

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