Exercício 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados;
;
Passo 1
Enunciado: verificar quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados. O conjunto dado é
.
Informações fornecidas: a descrição do conjunto por desigualdade .
Pergunta que o enunciado faz: determinar se esse conjunto é aberto, fechado, ambos ou nenhum.
Informações fornecidas: a descrição do conjunto por desigualdade
Pergunta que o enunciado faz: determinar se esse conjunto é aberto, fechado, ambos ou nenhum.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever o conjunto numa forma mais intuitiva. A desigualdade
é equivalente a
. Isso porque
e a condição de ser maior ou igual a
transforma-se em valor absoluto maior ou igual a
. A partir de
obtemos
Portanto podemos escrever o conjunto como a união de dois intervalos:
Passo 3
Uma maneira padrão de testar se um conjunto é fechado é olhar para o seu complemento e ver se este é aberto. Vamos calcular o complemento de
em
:
Então
.
Passo 4
Agora mostramos explicitamente que
é aberto (usar definição
-vizinhança). Tome um ponto arbitrário
. Defina
Se
é qualquer ponto em
, então por desigualdade triangular temos
Logo
. Isso mostra que existe uma bola aberta centrada em
que fica inteiramente em
. Como
foi arbitrário,
é aberto.
Passo 5
Como
é aberto, pela definição de conjunto fechado (um conjunto é fechado se o seu complemento é aberto) concluímos que
é fechado. (Guarde essa conclusão; a demonstração direta por complemento já é suficiente.)
Passo 6
Agora vamos mostrar que
não é aberto. Para que
fosse aberto, todo ponto de
deveria ter uma vizinhança aberta contida em
. Considere o ponto
. Tome qualquer
e olhe a vizinhança
. Escolha
. Então
, mas
, portanto
. Isso mostra que nenhuma bola centrada em
fica inteira dentro de
. Assim
não é um ponto interior de
. Pelo mesmo raciocínio
também não é ponto interior. Portanto
não é aberto.
Passo 7
Mostro rapidamente uma verificação alternativa (sequencial) para reforçar a ideia de fechado: seja
uma sequência em
que converge para um limite
. Como
para todo
, se por absurdo
então escolha
; para
grande teríamos
e assim
, contradizendo
. Logo
e
. Assim
contém os limites de todas as sequências convergentes que lhe pertencem, outra forma de ver que
é fechado.
Resposta
Fechado; não é aberto.