Exercício 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados;
(-1,2) \cup\{5\};

Passo 1

O enunciado dá o conjunto (-1,2)\cup\{5\} e pede para verificar se ele é aberto e/ou fechado. Vou trabalhar no espaço usual \mathbb{R} com a topologia usual (ou seja, as bolas abertas são intervalos abertos). Informação relevante que nos foi dada:
\text{o conjunto }A = (-1,2)\cup\{5\}.
Pergunta clara: o conjunto A é aberto? é fechado? Pode ser ambos? nenhum?

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar a definição de conjunto aberto em \mathbb{R} (forma \varepsilon-ball): um conjunto U\subset\mathbb{R} é aberto se, para todo ponto x\in U, existe \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)
está contido em U. Em palavras: todo ponto de U tem um pequeno intervalo em volta dele que fica inteiramente dentro de U. Vou usar isso para testar os pontos de A.

Passo 3

Verifico os pontos do ramo (-1,2). Seja x\in(-1,2). A distância de x às bordas do intervalo é \min\{x-(-1),\,2-x\}, que é positiva porque -1<x<2. Posso escolher, por exemplo,
\varepsilon=\frac{1}{2}\min\{x+1,\,2-x\}>0.
Então o intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon) fica inteiro dentro de (-1,2). Logo todo x\in(-1,2) é um ponto interior de A. Isso mostra que o ramo (-1,2) é aberto (é um fato conhecido: intervalos abertos são abertos).

Passo 4

Agora examino o ponto isolado 5\in A. Para que 5 seja um ponto interior de A precisamos de \varepsilon>0 tal que (5-\varepsilon,5+\varepsilon)\subset A. Mas qualquer intervalo (5-\varepsilon,5+\varepsilon) contém pontos diferentes de 5 (por exemplo 5+\varepsilon/2), e esses pontos não pertencem a (-1,2) nem a \{5\}. Portanto não existe \varepsilon>0 com (5-\varepsilon,5+\varepsilon)\subset A. Conclusão: 5 não é ponto interior de A. Como existe um ponto de A que não é interior, A não é aberto.
Observação intuitiva: união de um aberto e de um singleton nem sempre é aberto; aqui falha precisamente no singleton.

Passo 5

Agora a definição de conjunto fechado em \mathbb{R}: um conjunto F\subset\mathbb{R} é fechado se o seu complemento \mathbb{R}\setminus F for aberto. Uma outra definição equivalente (muito útil) é: F é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou pontos de aderência) — isto é, sempre que uma sequência de pontos de F converge para x, então x\in F.
Vou usar a condição por pontos-limite porque aqui é simples encontrar pontos-limite que não estão em A.

Passo 6

Considere a borda do intervalo (-1,2), que são os pontos -1 e 2. Vou mostrar que -1 é ponto-limite de A (mesmo sem usar {5}). Tome a sequência
x_n = -1 + \frac{1}{n},\qquad n=1,2,\dots
Cada x_n pertence a (-1,2)\subset A e x_n\to -1 quando n\to\infty. Assim -1 é um ponto-limite de A. Mas -1\notin A (porque A contém apenas pontos estritamente maiores que -1 nessa parte). Portanto A não contém todos os seus pontos-limite, o que implica que A não é fechado.
De forma análoga, 2 também é ponto-limite (pense em y_n=2-\tfrac{1}{n}\in A com y_n\to2) e 2\notin A, reforçando que A não é fechado.

Passo 7

Podemos também ver pela via do complemento: o complemento de A é
\mathbb{R}\setminus A = (-\infty,-1]\;\cup\;([2,\infty)\setminus\{5\}).
Nesse complemento o ponto -1 está presente, mas qualquer vizinhança de -1 contém pontos de (-1,2) (que não estão no complemento), logo o complemento não é aberto. Assim A não é fechado (mesma conclusão pela outra via).

Passo 8

Resumo das conclusões já obtidas: A não é aberto porque o ponto 5\in A não é interior; A não é fechado porque não contém os pontos-limite -1 e 2.

Resposta

(-1,2)\cup\{5\} não é aberto nem fechado.

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