Exercício 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados;
;
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se ele é aberto e/ou fechado. Vou trabalhar no espaço usual
com a topologia usual (ou seja, as bolas abertas são intervalos abertos). Informação relevante que nos foi dada:
Pergunta clara: o conjunto
é aberto? é fechado? Pode ser ambos? nenhum?
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar a definição de conjunto aberto em
(forma
-ball): um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que o intervalo aberto
está contido em
. Em palavras: todo ponto de
tem um pequeno intervalo em volta dele que fica inteiramente dentro de
. Vou usar isso para testar os pontos de
.
Passo 3
Verifico os pontos do ramo
. Seja
. A distância de
às bordas do intervalo é
, que é positiva porque
. Posso escolher, por exemplo,
Então o intervalo
fica inteiro dentro de
. Logo todo
é um ponto interior de
. Isso mostra que o ramo
é aberto (é um fato conhecido: intervalos abertos são abertos).
Passo 4
Agora examino o ponto isolado
. Para que
seja um ponto interior de
precisamos de
tal que
. Mas qualquer intervalo
contém pontos diferentes de
(por exemplo
), e esses pontos não pertencem a
nem a
. Portanto não existe
com
. Conclusão:
não é ponto interior de
. Como existe um ponto de
que não é interior,
não é aberto.
Observação intuitiva: união de um aberto e de um singleton nem sempre é aberto; aqui falha precisamente no singleton.
Passo 5
Agora a definição de conjunto fechado em
: um conjunto
é fechado se o seu complemento
for aberto. Uma outra definição equivalente (muito útil) é:
é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou pontos de aderência) — isto é, sempre que uma sequência de pontos de
converge para
, então
.
Vou usar a condição por pontos-limite porque aqui é simples encontrar pontos-limite que não estão em
.
Passo 6
Considere a borda do intervalo
, que são os pontos
e
. Vou mostrar que
é ponto-limite de
(mesmo sem usar {5}). Tome a sequência
Cada
pertence a
e
quando
. Assim
é um ponto-limite de
. Mas
(porque
contém apenas pontos estritamente maiores que
nessa parte). Portanto
não contém todos os seus pontos-limite, o que implica que
não é fechado.
De forma análoga,
também é ponto-limite (pense em
com
) e
, reforçando que
não é fechado.
Passo 7
Podemos também ver pela via do complemento: o complemento de
é
Nesse complemento o ponto
está presente, mas qualquer vizinhança de
contém pontos de
(que não estão no complemento), logo o complemento não é aberto. Assim
não é fechado (mesma conclusão pela outra via).
Passo 8
Resumo das conclusões já obtidas:
não é aberto porque o ponto
não é interior;
não é fechado porque não contém os pontos-limite
e
.